Question

质量为60kg的工人用如图所示的滑轮组，将一个合金块从空中匀速下落到底面积为800cm²的盛有水的容器中．当合金块接触水面之前，滑轮组的机械效率为η₁=80%，（不计绳重、摩擦，g取10N/kg，人的每只鞋与地面的接触面积为200cm²，ρ_合金=3×10³kg/m³）求：
（1）当合金块全部浸没在水中时，水对容器底的压强比合金块在空气中时增加了1×10³P_a，此时，人对地面的压强是多少？
（2）合金块在水中匀速上升时（A的上表面始终不露出水面），滑轮组的机械效率η₂=？（百分数保留整数）
（3）若用该滑轮组将质量相等、密度之比ρ_甲：ρ_乙=2：3的两个实心物体甲乙放入盛有足够多水的容器中，撤去滑轮组后，当甲、乙两物体静止后，水对甲、乙的浮力比
F_甲：F_乙=6：5，求甲的密度是多少？

Answer 1

解：（1）当合金块全部浸没在水中时，其受力情况如图1所示，

液面上升的高度，△h===0.1m；
△V_排=V_合金=S△h=0.08m²×0.1m=0.008m³
合金块的重力为：G_A=ρ_合金gV_合金=3×10³kg/m³×10N/kg×8×10^-3m³=240N；
合金块所受的浮力：F_浮A=ρ_水gV_排=1×10³kg/m³×10N/kg×8×10^-3m³=80N；
合金块所受的拉力为：T'_A=G_A-F_浮A=240N-80N=160N；
当合金块在空气中时，其受力情况如图2所示：
合金块的重力为：G_A=ρ_合金gV_合金=3×10³kg/m³×10N/kg×8×10^-3m³=240N；
合金块所受的拉力为：T_A=G_A=240N；
因为η₁===80%，所以，G_动=60N；
取动滑轮为研究对象，当合金块全部浸没在水中时，动滑轮的受力情况如图3所示，3F₂=G_动+T'_A；
F₂==≈73.3N；
取人为研究对象，受力情况如图4所示，
地面对人的支持力为N=G_人-F₂=60kg×10N/kg-73.3N=526.7N；
人对地面的压强P===≈1.32×10⁴Pa；
（2）设合金块在水中匀速上升的高度为h，则
拉力所做的有用功为W_有用=T'₂h=160h（J）
拉力所做的总功为；W_总=F₂3h=×3h=220hJ；
滑轮组的机械效率η₂==≈72.7%；
（3）∵m_甲=m_乙
根据密度公式及已知条件可得：V_乙==…①；
∵F_甲：F_乙=6：5
可得乙物体排开液体的体积：V_乙^′==…②；
乙物体排开液体的体积只能小于或等于乙物体的体积，比较①②可知：V_甲^′＜V_甲
即甲一定漂浮在水中．
又∵m_甲=m_乙，F_甲：F_乙=6：5，所以乙物体不可能漂浮或悬浮在水中，只可能下沉
即V_乙^′=V_乙…③
因为甲漂浮在水中，得G_甲=F_甲…④
联立以上4式可得ρ_甲===0.8×10³kg/m³；
答：甲的密度是0.8×10³kg/m³．
分析：（1）先分析合金块浸没水中时的受力情况；根据公式G=mg求出合金块的重力；根据浮力公式求出合金块的所受的浮力，进一步求出合金块所受的拉力，根据机械效率求出动滑轮的重力；再以动滑轮和人为研究对象进行受力分析；求出地面对人的支持力，最后利用压强公式求出人对地面的压强；
（2）根据公式W=FS求出拉力所做的有用功和总功，有用功和总功的比值就是滑轮组的机械效率；
（3）根据密度公式及已知条件求出乙的体积和乙排开的液体的体积；进一步求出甲和乙在水中的状态；最后利用密度公式求出甲的密度．
点评：本题考查压强、机械效率、密度的计算，难点是对物体的受力分析，找出等量关系，这也是解题的关键，本题难度不小，需要认真分析．