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13.一带阀门的圆柱形容器,底面积是200cm2,装有12cm深的水,正方体M边长为10cm,重20N,用细绳悬挂放入水中,有$\frac{1}{5}$的体积露出水面,如图所示,试求:
(1)正方体M的密度;
(2)正方体M受到的浮力以及此时水对容器底部的压强;
(3)若从图示状态开始,通过阀门K缓慢放水,当容器中水面下降了2cm时,细绳刚好被拉断,则细绳能承受的最大拉力是多少?(g取10N/Kg,水的密度为1.0×103Kg/m3).

分析 (1)根据正方体M边长为10cm,可求其体积大小,利用密度公式ρ=$\frac{m}{V}$求密度.
(2)由于用细绳悬挂放入水中,有$\frac{1}{5}$的体积露出水面,求出V,利用FgV即可求出M受到的浮力;
(3)根据容器的底面积和水面下降2cm时正方体M浸入水中的体积,利用FgV即可求出此时M受到的浮力;由正方体重力和浮力即可求出细绳所能承受的最大拉力.

解答 解:(1)正方体M的质量mM=$\frac{{G}_{M}}{g}$=$\frac{20N}{10N/kg}$=2kg,
体积为VM=L3=(10cm)3=1000cm3=1×10-3m3
所以,密度ρM=$\frac{{m}_{A}}{{V}_{A}}$=$\frac{2kg}{1×1{0}^{-3}{m}^{3}}$=2×103kg/m3
(2)由于用细绳悬挂放入水中,有$\frac{1}{5}$的体积露出水面,则:
V排1=(1-$\frac{1}{5}$)VA=$\frac{4}{5}$×1×10-3m3=8×10-4m3
受到的浮力为:
F浮1gV排1=1.0×103kg/m3×10N/kg×8×10-4m3=8N;
设M放入水中后水深为h′,则有Sh′=Sh+V排1
则h′=h+$\frac{{V}_{排1}}{S}$=0.12m+$\frac{8×1{0}^{-4}{m}^{3}}{200×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=0.16m.
此时水对容器底部的压强:
p=ρgH′=1.0×103kg/m3×10N/kg×0.16m=1.6×103Pa.
(3)原来石块M浸入水中深度为h1=(1-$\frac{1}{5}$)L=$\frac{4}{5}$×10cm=8cm,
水面下降2cm时正方体M浸入水中深度为h2=h1-2cm=8cm-2cm=6cm,
则V排2=h2L2=6cm×(10cm)2=600cm3=6×10-4m3
F浮2gV排2=1.0×103kg/m3×10N/kg×6×10-4m3=6N;
当绳子刚被拉断时有:Fm+F浮2=G,
所以细绳能承受的最大拉力Fmax=G-F′=20N-6N=14N.
答:(1)正方体M的密度为2×103kg/m3
(2)正方体M受到的浮力为8N;此时水对容器底部的压强为1.6×103Pa;
(3)当容器中水面下降了2cm时,细绳刚好被拉断,细绳能承受的最大拉力是14N.

点评 此题综合性很强,且难度很大;此题的难点在(3)算出绳子断的临界拉力,增加的拉力就是排出水的重力,根据FgL2h可求出此时A浸入水中深度,然后问题可解.

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