Question

12．在如图所示的电路中，电源两端电压不变．当只闭合开关S、S₃时，电流表的示数为I₁，电路的总功率是3W；当开关S、S₁、S₂、S₃都闭合时，电流表的示数为I₂，电路的总功率是10.5W，电阻R₂的功率是4.5W．
求：（1）电流I₁与I₂之比．
（2）电阻R₁和R₃的比值．
（3）只闭合开关S、S₂时，电阻R₁电功率．

Answer 1

分析 先画出三种情况的等效电路图：
（1）根据P=UI结合图甲和图乙中电路消耗的总功率求出两电路的电流之比．
（2）根据P=$\frac{{U}^{2}}{R}$分别表示出图乙中R₂、R₃消耗的电功率，再根据P=$\frac{{U}^{2}}{R}$和电阻的串联表示出图甲中电路消耗的总功率，联立以上等式求出三电阻阻值之间的关系；
（3）根据P=$\frac{{U}^{2}}{R}$表示出图丙中电路消耗的总功率，结合图甲中电路的总功率和电阻之间的关系求出图丙中电路的总功率，根据P=I²R和串联电路的总功率得出R₁消耗的总功率和电路总功率之间的关系结合比值关系即可求出电阻R₁电功率．

解答 解：
当只闭合开关S、S₃时，等效电路图如图甲所示；
当开关S、S₁、S₂、S₃都闭合时，等效电路图如图乙所示；
当只闭合开关S、S₂时，等效电路图如图丙所示；

（1）电源电压一定，根据P=UI，由图甲可知：P=UI₁=3W，
电源电压一定，根据P=UI，由图乙可知：P′=UI₂=10.5W，
所以：$\frac{P}{P′}$=$\frac{U{I}_{1}}{U{I}_{2}}$=$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$=$\frac{3W}{10.5W}$，
所以：$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$=$\frac{2}{7}$；
（2）由图乙可知：P₂=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}$=4.5W…①
P₃=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{3}}$=P_总′-P₂=10.5W-4.5W=6W…②
解①②式得：$\frac{{R}_{3}}{{R}_{2}}$=$\frac{3}{4}$，
由图甲可得：$\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=3W…③
解②③式得：2R₃=R₁+R₂，又有$\frac{{R}_{3}}{{R}_{2}}$=$\frac{3}{4}$，
解得：$\frac{{R}_{1}}{{R}_{3}}$=$\frac{2}{3}$；
（3）由图3可得：R₁与R₃串联的总功率为：P_总=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{3}}$…④，
解③④式得：P_总=$\frac{3W×（{R}_{1}+{R}_{2}）}{{R}_{1}+{R}_{3}}$=3W×$\frac{{R}_{1}+2{R}_{1}}{{R}_{1}+\frac{3}{2}{R}_{1}}$=3.6W，
$\frac{{P}_{总}}{{P}_{1}}$=$\frac{3.6W}{{P}_{1}}$=$\frac{{R}_{1}+{R}_{3}}{{R}_{1}}$=$\frac{{R}_{1}+\frac{3}{2}{R}_{1}}{{R}_{1}}$=2.5，
P₁=$\frac{3.6W}{2.5}$=1.44W．
答：（1）电流I₁与I₂之比为2：7．
（2）电阻R₁和R₃的比值为2：3．
（3）只闭合开关S、S₂时，电阻R₁电功率为1.44W．

点评 本题考查串并联电路上各电阻上的功率、电压与电阻值之间特点的应用，记住串联电路中电流相等，功率、电压与电阻成正比，并联电路中电压相等，功率、电流与电阻成反比；对于阻值一定的电阻来说，消耗的功率与它两端的电压的平方成正比．