Question

（2013?沧浪区二模）我国北方常遭遇严重的沙尘暴天气．所谓沙尘暴可简化为如下情景：快速向上刮起的大风将大量沙尘颗粒扬起后悬浮在空中（不动），这时风对沙尘的作用力与沙尘的重力平衡，其作用力大小可近似表达为f=

1

2

ρSv2，其中ρ为空气密度，S为沙尘颗粒的横截面积，v为风速．如果沙粒的密度ρ_沙为3×10³千克/米³，沙粒半径r为2.5×10^-4米，地面的空气密度ρ₀为1.25千克/米³，那么要形成沙尘暴现象，地面的风速至少为

4

米/秒．假设空气密度ρ随地面高度h的变化关系如图所示，那么当地面风速为8米/秒时，当地沙尘暴的最大高度为

6292

米．（沙粒可近似看成球体，且体积V=

4

3

πr3）

Answer 1

分析：沙尘颗粒受竖直向上的风力f与竖直向下的重力G作用处于平衡状态，由二力平衡条件知，重力G和风力F相等，列出等式，解方程求出风的速度；由平衡条件求出风速为8m/s时空气的密度，由图象求出空气密度随高度变化的关系，然后由空气的密度求出沙尘暴的高度．

解答：解：沙尘颗粒受重力G=mg=ρ_沙Vg=ρ_沙

4

3

πr3g与空气作用力为f=

1

2

ρSv2=

1

2

ρπr²v²作用而平衡，
在地面附近空气密度ρ₀=1.25kg/m³，由平衡条件得：ρ_沙

4

3

πr3g=

1

2

ρ₀πr²v²，
则v=

8ρ沙rg 3ρ0

=

8×3×103kg/m3×2.5×10-4m×9.8N/kg 3×1.25kg/m3

≈4m/s；
当风速v=8m/s时，由ρ_沙

4

3

πr3g=

1

2

ρπr²v²，得：ρ=

8ρ沙rg

3v2

=

8×3×103kg/m3×2.5×10-4m×9.8N/kg

3×(8m/s)2

=0.30625kg/m³=

0.30625

1.25

（ρ₀）；
由图象知，密度ρ与高度h是一次函数关系，设关系式是ρ（ρ₀）=kh+b，
将h=0，ρ=1代入得：1=b；将h=5，ρ=0.4代入得：0.4=5k+1，解得：k=-0.12；
所以ρ与h的关系式是ρ（ρ₀）=-0.12h+1；h=

1- 0.30625 1.25

0.12

km≈6.292km=6292m．
故答案为：4；6292．

点评：沙尘颗粒被扬起后悬浮在空气中，是静止的物体，受到平衡力的作用，根据平衡条件列出等式进行计算是解题的关键．