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13.如图(a)所示,放在水平面上的实心圆柱体A、B由不同材料制成,A的密度是B的一半.它们的高度均为H.A的质量是B的三分之一.如图(b)所示,若在A、B上沿水平方向截去某一相同的厚度h,并将所截去的部分均叠放至对方剩余部分上表面的中央.当截去厚度h时,恰能使叠放后的物体A′、B′对地面的压强相等.求:h与H之比.(可用分式表示)

分析 根据实心圆柱体A的密度是B的一半,从而可知密度之比,A的质量是B的三分之一.它们的高度均为H.利用其体积可求出其底面积之比,然后根据在甲、乙上沿水平方向截去某一相同的厚度h,并将所截去的部分均叠放至对方剩余部分上表面的中央.恰能使叠放后的物体A′、B′对地面的压强相等.列出等式解答.

解答 解:由实心圆柱体A的密度是B的一半,则密度之比为ρA:ρB=1:2,或ρB=2ρA
由于A的质量是B的三分之一,则质量之比为mA:mB=1:3,
它们的高度均为H.则根据ρ=$\frac{m}{V}$和V=Sh得S=$\frac{V}{h}$=$\frac{\frac{m}{ρ}}{h}$=$\frac{m}{ρh}$,
则$\frac{{S}_{A}}{{S}_{B}}$=$\frac{{m}_{A}}{{ρ}_{A}H}$:$\frac{{m}_{B}}{{ρ}_{B}H}$=$\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}$×$\frac{{ρ}_{B}}{{ρ}_{A}}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{1}$=$\frac{2}{3}$,
当截去厚度h时,叠放后的物体A′、B′对地面的压力分别为:
FA′=GA-△GA+△GBAgSAH-ρAgSAh+ρBgSBh;
FB′=GB-△GB+△GABgSBH-ρBgSBh+ρAgSAh;
由于叠放后的物体A′、B′对地面的压强相等,则pA′=pB′,
即:$\frac{{F}_{A}′}{{S}_{A}}$=$\frac{{F}_{B}′}{{S}_{B}}$,
所以,$\frac{{ρ}_{A}{gS}_{A}H-{ρ}_{A}{gS}_{A}h+{ρ}_{B}{gS}_{B}h}{{S}_{A}}$=$\frac{{ρ}_{B}{gS}_{B}H-{ρ}_{B}{gS}_{B}h+{ρ}_{A}{gS}_{A}h}{{S}_{B}}$,
整理得:ρAH-ρAh+ρBh×$\frac{{S}_{B}}{{S}_{A}}$=ρBH-ρBh+ρAh×$\frac{{S}_{A}}{{S}_{B}}$;
即:ρAH-ρAh+2ρAh×$\frac{3}{2}$=2ρAH-2ρAh+ρAh×$\frac{2}{3}$;
解得:$\frac{h}{H}$=$\frac{3}{10}$.
答:h与H之比为3:10.

点评 本题考查了压力,压强的计算,甲乙上沿水平方向分别截去相同的厚度h后.甲乙剩余部分对水平地面的接触面积不变,这是此题的关键,在解题时要记住相关公式,灵活运用密度公式解决问题,此题的难点在于压强等式的列出,解答也要非常认真,仔细,否则后导致出错.

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