Question

2．圆柱形容器中盛有水，将一质量为0.8kg的正方体物块放入容器中，液面上升了1cm．此时正方体物块有一半露出水面．（已知容器的横截面积与正方体横截之比为5：1，g取10N/kg，容器壁厚不计．）求：
（1）物块的边长．
（2）物块的密度．
（3）若再缓缓向容器中注入水，至少需要加多少水，才能使物块对容器底的压强为零？

Answer 1

分析 （1）容器内水的体积加上正方体物块一半的体积等于后来水的深度乘以容器的底面积，据此求出正方体的边长；
（2）根据求得的物块的边长可求体积，已知质量，利用ρ=$\frac{m}{V}$可求物块的密度；
（3）物块对容器底的压强为零时，处于漂浮状态，受到的浮力和自身的重力相等，根据阿基米德原理求出排开水的体积，根据V=Sh求出液面上升的高度，进一步求出需加的水的体积，然后可求水的质量．

解答 解：（1）设容器的横截面积为S₂，正方体的横截面积为S₁，正方体的边长为a，容器内水的深度为h_水，放入物体后的深度（h_水+1cm），则
h_水S₂+$\frac{1}{2}$a×S₁=（h_水+1cm）S₂，
整理可得：
a=$\frac{2{S}_{2}}{{S}_{1}}$×1cm=$\frac{2×5{S}_{1}}{{S}_{1}}$×1cm=10cm，
（2）物块的体积V=a³=（10cm）³=1.0×10³m³，
物块的密度ρ=$\frac{m}{V}$=$\frac{0.8kg}{1.0×1{0}^{3}{m}^{3}}$=0.8×10³kg/m³；
（3）物块对容器底的压强为零时，处于漂浮状态，
则F_浮=G=mg=0.8kg×10N/kg=8N，
物块排开水的体积：
V_排=$\frac{{F}_{浮}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{8N}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=8×10^-4m³，
液面上升的高度：
△h=$\frac{{V}_{排}}{{S}_{1}}$-$\frac{a}{2}$=$\frac{8×1{0}^{-4}{m}^{3}}{0.01{m}^{2}}$-$\frac{10cm}{2}$=0.08m-5cm=8cm-5cm=3cm，
需加的水的体积：
V_水=（S₂-S₁）△h=（5S₁-S₁）△h=4S₁△h=4×100cm²×3cm=1200cm³=1.2×10^-3m³，
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，需要加水的质量m_水=ρ_水V_水=1.0×10³kg/m³×1.2×10^-3m³=1.2kg．
答：（1）物块的边长为10cm；
（2）物块的密度为0.8×10³kg/m³；
（3）若再缓缓向容器中注入水，至少需要加1.2kg水，才能使物块对容器底的压强为零．

点评 本题考查了压强和液体体积的计算，涉及到阿基米德原理和压强公式、重力公式的应用，要注意物块对容器底的压强为零时可认为物块没离开容器的底部．