Question

如图有密度为ρ₁体积为V₁半径为r的半球形金属块，放在圆柱形容器底部．（半球形金属块与容器底部紧密接触），顶部拴着一个密度为ρ₂的木球，容器内盛有密度为ρ₀深度为h的液体，ρ₁＞ρ₀＞ρ₂且不考虑大气压的作用求：
（1）所栓木球体积至少是多少时，才能使半球形金属块离开容器底部．
（2）半球形金属块离开容器底部后，处于静止状态时，木球所受浮力与木球所受重力之差是多少？

Answer 1

分析：（1）因为半球形金属块与容器底部紧密接触，则球形金属块不受浮力作用，所以使半球形金属块离开容器底部的拉力应等于物体本身的重力与水产生的压力之和；据此根据阿基米德原理和液体压强公式列出等式即可求解；
（2）半球形金属块离开容器底部后，处于静止状态时，会漂浮在液面上，根据阿基米德原理和漂浮条件即可求得．

解答：解：（1）半球形金属块和木球为一个整体，则使半球形金属块离开容器底部时，半球形金属块和木球的浮力应等于本身的重力与水产生的压力之和，
即F_浮=G_木+G_金+F_向下，
设木球体积为v₂，
由阿基米德原理可得：
ρ₀gv₂=ρ₂gv₂+ρ₁gv₁+F_向下------------①
∵对于半球形金属块，则有F_向上-F_向下=F_浮金属块，
∴F_向下=F_向上-F_浮金属块=ρ₀ghπr²-ρ₀gv₁-------------②
解得：v₂=

v1(ρ1-ρ0)+ρ0hπr2

ρ0-ρ2

；
（2）金属块离开容器底后，处于静止状态时，会漂浮在液面上，
∴F_浮+F_浮金属块=G_木+G_金，
∴木球所受浮力与木球所受重力之差为：
  F_浮-G_木=G_金-F_浮金属块=ρ₁gv₁-ρgv₁．
答：（1）所栓木球体积至少是

v1(ρ1-ρ0)+ρ0hπr2

ρ0-ρ2

时，才能使半球形金属块离开容器底部．
（2）半球形金属块离开容器底部后，处于静止状态时，木球所受浮力与木球所受重力之差是=ρ₁gv₁-ρgv₁．

点评：本题难度较大，是一道难题，知道浮力产生的原因、熟练应用压强公式的变形公式、液体压强公式、对半球正确受力分析等是正确解题的关键．