Question

10．小明用一个焦距为10cm的凸透镜看到远处一发光长方形物体正向他匀速移动，小明想通过测量像移动的距离计算出此物体的运动速度，于是他记下该物体刚好在S₁时的时间，此时物体像到达P₁点，测出FP₁=2mm，50秒后物体到达S₂点，物体像到达P₂点测出FP₂=4mm（凸透镜成像中的像距、物距和焦距之间的关系是$\frac{1}{u}$+$\frac{1}{v}$=$\frac{1}{f}$）

（1）求物体移动的速度；
（2）小明从凸透镜中看到随着物体得的靠近像越来越大，他想象放大倍数一定存在某种规律，请你帮助小明证明像的放大倍数β与物距u和焦距f的关系．

Answer 1

分析 （1）求出两种情况下的像距，得出物距，根据v=$\frac{s}{t}$求出物体移动的速度；
（2）做出成像的光路，根据图象得出成像倍数与像距和物距的关系；
结合像距、物距、焦距的关系得出放大倍数与u、f的关系．

解答 解：（1）像在P1点时，像距v=2mm+100mm=102mm，由$\frac{1}{u}$+$\frac{1}{v}$=$\frac{1}{f}$得，
$\frac{1}{u}$+$\frac{1}{102mm}$=$\frac{1}{100mm}$
解得u=5100mm=510cm
像在P₂点时，像距v′=4mm+100mm=104mm
则$\frac{1}{u′}$+$\frac{1}{104mm}$=$\frac{1}{100mm}$
解得u′=2600mm=260cm
则物体的移动速度v=$\frac{s}{t}$=$\frac{510cm-260cm}{50s}$=5cm/s；
（2）成像光路如图：

由图知，△A′B′O∽△ABO，所以；
β=$\frac{A′B′}{AB}$=$\frac{v}{u}$
则v=βu，
又$\frac{1}{u}$+$\frac{1}{v}$=$\frac{1}{f}$
则$\frac{1}{u}$+$\frac{1}{βu}$=$\frac{1}{f}$
解得：β=$\frac{f}{u-f}$．
答：（1）物体移动的速度为5cm/s；
（2）β与物距u和焦距f的关系是β=$\frac{f}{u-f}$．

点评 本题考查了像距、物距、焦距之间的关系，关键利用好焦距、物距、像距之间的关系式，（1）的关键是根据关系式得出两种情况下物距的变化，（2）的关键是做出成像光路图，确定放大倍数与像距、物距的关系．难度较大．