Question

如图所示，为小芳设计的一个带有自动控制定时排水装置的长方体水箱．水箱中，杠杆AO的右端能绕固走点O在竖直平面内自由转动，杠杆的左端A通过很小的挂钩及长为L=20cm连杆与一长方体浮子相连，BC为一连接杠杆与排水阀C的直杆．杠杆AO水平时排水阀正好能密封住排水管管口，当浮子体积的3/4被水浸没时，浮子带动杠杆提起排水阀开始排水，设每次排水均能将水箱中的水迅速排完，排完后进水管立即自动注水．已知OA=3OB，浮子的底面积和排水阀面积均为S₁=80cm²，浮子高h₁=40cm、质量m₁=0.4kg，点O距箱底h₂=20cm，水箱底面积为S₂=6×10³cm²，且水箱足够高．不计连杆及杠杆的质量和体积，不计排水阀的厚度，取水的密度为ρ=1×10³kg/m³，g=10N/kg．试问：
（1）排水阀C的质量m₂为多少千克？
（2）如果进水管中水的流量为Q=0.02m³/min，则该水箱某次排水结束到下次开始排水所用的时间为多少分钟？

Answer 1

解：（1）当浮子体积的被水浸没时，浮子受到的浮力：F_浮=ρ_水gV_排=1×10³kg/m³×10N/kg××80×10^-4m²×0.4m=32N，
浮子的重力：G_浮子=m₁g=0.4kg×10N/kg=4N，
则根据杠杆平衡的条件可得：（F_浮-G_浮子）×OA=m₂g×OB
m₂===8.4kg；
（2）根据题意可知，水箱内水面的最大高度：h=h₂+L+h₁=20cm+20cm+×40cm=50cm=0.5m；
已知：S₂=6×10³cm²=0.6m²，Q=0.02m³/min．
当水位达到设计高度时，水箱内水的体积为：V_箱=S₂h=（0.6m）²×0.5m=0.18m³
自来水管的流量Q=0.02m³/min，蓄满一箱水所用时间：
t===9min．
答：（1）排水阀C的质量m₂为8.4kg；
（2）如果进水管中水的流量为Q=0.02m³/min，则该水箱某次排水结束到下次开始排水所用的时间为9min．
分析：（1）求出当浮子体积的3/4被水浸没时，浮子受到的浮力，则A端受到的作用力等于浮力减去浮子的重力，然后根据杠杆平衡的条件即可求出）排水阀C的质量；
（2）当水箱内的水高度达到设计高度时，水箱内的水就向外排出，因此水管中流出的水的体积等于水箱内水达到设计高度时的体积时，所用的时间就是间隔的放水时间．
点评：此题综合了二力平衡的条件、基米德原理、杠杆的平衡条件等多个知识点，综合性较强，题目的难度较大．