Question

11．某电热饮水器上有甲、乙两根电热丝，将甲单独接在电源上，10min可将饮水器中的水加热至沸腾；将乙单独接在同一电源上，使初温和质量相同的水加热至沸腾，需要时间15min．设不考虑电阻丝阻值随温度的变化及热量的损失，电源电压不变．求：
（1）问将两根电热丝串联使用，使初温和质量相同的水加热至沸腾，需要多长的时间？
（2）若将两根电热并联使用，又需要多长的时间？

Answer 1

分析 烧开同一壶水所需的热量相同，根据Q=W=$\frac{{U}^{2}}{R}$t分别表示出两根电阻丝的电阻．
（1）将两根电热丝串联使用时，根据电阻的串联求出电路中的总电阻，利用Q=W=$\frac{{U}^{2}}{R}$t求出需要的加热时间；
（2）将两根电热并联使用时，根据电阻的并联求出电路中的总电阻，利用Q=W=$\frac{{U}^{2}}{R}$t求出需要的加热时间．

解答 解：电源电压U不变，烧开同样一壶水，水所吸收的热量Q不变，
由Q=W=$\frac{{U}^{2}}{R}$t可得，甲、乙两根电热丝的电阻分别为：
R_甲=$\frac{{U}^{2}}{Q}$t_甲，R_乙=$\frac{{U}^{2}}{Q}$t_乙；
（1）将两根电热丝串联使用时，
因串联电路中的总电阻等于各分电阻之和，
所以，电路中的总电阻：
R_串=R_甲+R_乙=$\frac{{U}^{2}}{Q}$t_甲+$\frac{{U}^{2}}{Q}$t_乙=$\frac{{U}^{2}}{Q}$（t_甲+t_乙），
烧开同一壶水需要的时间：
t_串=$\frac{Q{R}_{串}}{{U}^{2}}$=$\frac{Q×\frac{{U}^{2}}{Q}×（{t}_{甲}+{t}_{乙}）}{{U}^{2}}$=t_甲+t_乙=10min+15min=25min；
（2）将两根电热并联使用时，
因并联电路中总电阻的倒数等于各分电阻倒数之和，
所以，电路中的总电阻：
R_并=$\frac{{R}_{甲}{R}_{乙}}{{R}_{甲}+{R}_{乙}}$=$\frac{\frac{{U}^{2}}{Q}{t}_{甲}×\frac{{U}^{2}}{Q}{t}_{乙}}{\frac{{U}^{2}}{Q}{t}_{甲}+\frac{{U}^{2}}{Q}{t}_{乙}}$=$\frac{{U}^{2}}{Q}$×$\frac{{t}_{甲}×{t}_{乙}}{{t}_{甲}+{t}_{乙}}$，
烧开同一壶水需要的时间：
t_并=$\frac{Q}{{U}^{2}}$R_并=$\frac{Q}{{U}^{2}}$×$\frac{{U}^{2}}{Q}$×$\frac{{t}_{甲}×{t}_{乙}}{{t}_{甲}+{t}_{乙}}$=$\frac{{t}_{甲}×{t}_{乙}}{{t}_{甲}+{t}_{乙}}$=$\frac{10min×15min}{10min+15min}$=6min．
答：（1）将两根电热丝串联使用，使初温和质量相同的水加热至沸腾，需要25min；
（2）将两根电热并联使用，需要6min．

点评 本题考查了焦耳定律和电阻的串并联特点，涉及的知识点难度不大，关键是计算过程中各量之间的关系不要颠倒，对学生的运算能力要求较高．