Question

13．甲液体的密度为ρ_甲，乙液体的密度为ρ_乙，用质量均为m的甲液体和乙液体配制密度为$\frac{{ρ}_{甲}+{ρ}_{乙}}{2}$的混合液，则最多能配成此混合液体多少千克？（温馨提示：要分类讨论）

Answer 1

分析 混合液体的质量等于两液体的质量之和，体积等于两液体体积之和，根据ρ=$\frac{m}{V}$表示出混合液体的密度即可求出两液体的体积关系，然后讨论两液体的密度得出混合液体的质量．

解答 解：设混合液的密度为$\frac{{ρ}_{甲}+{ρ}_{乙}}{2}$时，需要两液体的体积分别为V_甲、V_乙，
则混合液体的体积V_混=V_甲+V_乙，
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，混合液体的质量：
m_混=m_甲+m_乙=ρ_甲V_甲+ρ_乙V_乙，
混合液体的密度：
ρ_混=$\frac{{m}_{混}}{{V}_{混}}$=$\frac{{ρ}_{甲}{V}_{甲}+{ρ}_{乙}{V}_{乙}}{{V}_{甲}+{V}_{乙}}$=$\frac{{ρ}_{甲}+{ρ}_{乙}}{2}$，
整理可得：V_甲=V_乙，
当ρ_甲＞ρ_乙时，V_甲＜V_乙，
则配成此混合液体的最大质量：
m_总=ρ_甲V_甲+ρ_乙V_甲=ρ_甲×$\frac{m}{{ρ}_{甲}}$+ρ_乙×$\frac{m}{{ρ}_{甲}}$=（1+$\frac{{ρ}_{乙}}{{ρ}_{甲}}$）m；
当ρ_甲=ρ_乙时，V_甲=V_乙，
则配成此混合液体的最大质量：
m_总=m_甲+m_乙=m+m=2m；
当ρ_甲＜ρ_乙时，V_甲＞V_乙，
则配成此混合液体的最大质量：
m_总=ρ_甲V_乙+ρ_乙V_乙=ρ_甲×$\frac{m}{{ρ}_{乙}}$+ρ_乙×$\frac{m}{{ρ}_{乙}}$=（1+$\frac{{ρ}_{甲}}{{ρ}_{乙}}$）m；
答：当ρ_甲＞ρ_乙时，配成此混合液体的最大质量为（1+$\frac{{ρ}_{乙}}{{ρ}_{甲}}$）m；
当ρ_甲=ρ_乙时，配成此混合液体的最大质量为2m；
当ρ_甲＜ρ_乙时，配成此混合液体的最大质量为（1+$\frac{{ρ}_{甲}}{{ρ}_{乙}}$）m．

点评 本题考查了学生对密度公式的掌握和运用，知道为得到密度ρ_混=$\frac{{ρ}_{甲}+{ρ}_{乙}}{2}$的混合溶液时需要取相同体积的两种溶液是本题的关键．