Question

6．质量分布均匀，形状规则的物体的重心，就在它的几何中心上，如果是形状不规则的物体，例如汤匙，可将其放在手指上，仔细调节支撑汤匙的支点位置，使其在手指上平衡，这时就可知道汤匙的重心就在支点上方．如图15所示，现有一个质量分布均匀且有一定厚度，半径为R的圆盘，紧贴其边缘截下一半径为r的小圆盘，且R=3r．求：截下小圆盘后，剩余部分的重心到大圆盘圆心O的距离是多少？

Answer 1

分析 利用挖补法分析重心的位置．根据题意可知挖去的小圆盘面积为大圆盘面积的$\frac{1}{9}$，假设将挖去的小圆盘可补上，在原重心处可以将物体支撑起来，运用杠杆的平衡条件列式解答．

解答 解：
根据题意，大圆盘的圆心和小圆盘的圆心以及剩余部分的重心应该在大圆盘的一条直径上．挖去小圆盘后，由于大部分质量分布在右侧，剩余部分的重心在大圆盘圆心O点的右侧位置．因为R=3r，由圆的面积公式可知，所以割去的小圆盘面积为大圆盘面积的$\frac{1}{9}$，所以挖去的小圆盘的重力是大圆盘的重力的$\frac{1}{9}$；设完整大圆盘的质量为m千克，挖去小圆盘后，圆的重心将从O点向右移动x；假设将挖去的小圆盘可补上，在原重心O处可以将物体支撑起来，根据杠杆的平衡条件可得：$\frac{1}{9}$mg•（R-r）=（1-$\frac{1}{9}$）mg•x，解得：x=$\frac{1}{4}$r．即截下小圆盘后，剩余部分的重心到大圆盘圆心O的距离是$\frac{1}{4}$r．
答：截下小圆盘后，剩余部分的重心到大圆盘圆心O的距离是$\frac{1}{4}$r．

点评 此题有一定的难度，本题要明确重心的定义，规则物体的重心在其几何中心处；还要会利用挖补法分析重心的位置，巧妙运用杠杆的平衡条件是解题关键．