Question

14．身高1.5m的某同学沿平直路线匀速行走，路灯在行进路线的正上方某一高度．某时刻人影的长度为0.6m，前进4m后，影长变为1.4m．求路灯的高度．（提示：如图所示的两直角三角形ACB、DEB的边长之间存在如下关系：$\frac{AC}{DE}=\frac{BC}{BE}$）

Answer 1

分析 根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答即可．

解答 解：情形1：人远离路灯．根据光的直线传播，可作出甲所示光路．图中AC为路灯的高度，D₁E₁、D₂E₂为身高，E₁E₂为行走的距离，B₁E₁、B₂E₂为前后两次的影长．

根据提示，可得$\frac{AC}{D1E1}=\frac{B1C}{B1E1}=\frac{CE1+B1E1}{B1E1}$
及  $\frac{AC}{D2E2}=\frac{B2C}{B2E2}=\frac{CE1+E1E2+B2E2}{B2E2}$
考虑到D₁E₁=D₂E₂，将各已知量代入，解得路灯的高度
AC=9m
情形2：人先靠近、后远离路灯．根据光的直线传播，可作出乙所示光路．
根据提示，可得$\frac{AC}{D1E1}=\frac{B1C}{B1E1}=\frac{CE1+B1E1}{B1E1}$
及  $\frac{AC}{D2E2}=\frac{B2C}{B2E2}=\frac{E1E2-CE1+B2E2}{B2E2}$
考虑到D₁E₁=D₂E₂，将各已知量代入，解得路灯的高度
AC=4.5m．
答：路灯的高度是9m或4.5m

点评 本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．