Question

20．归纳是探究：
我们知道，弹簧受到的拉力越大，弹簧伸长的长度就越大．但是，用同样大小的力去拉两只不用的弹簧，伸长的长度不同，这说明弹簧有“软”、“硬“之分，容易被拉伸的弹簧比较软，反之比较硬．弹簧的软硬用它的刚性系数来表示．刚性系数越大，弹簧越硬．
为了研究弹簧的刚性系数与哪些因素有关，通过有关实验探究，取得数据如下（其中：S为制造弹簧的金属丝的横截面积，n为弹簧的匝数，r为弹簧的半径，A为弹簧的刚性系数）

实验	材料	S/m2	n/匝	r/m	A（N•m-1）
1	铜	3×10-6	100	1×10-2	90
2	钢	3×10-6	100	1×10-2	180
3	铜	6×10-6	100	1×10-2	360
4	钢	3×10-6	200	1×10-2	90
5	铜	6×10-6	100	2×10-2	45

（1）A=k$\frac{{S}^{2}}{n{r}^{3}}$，其中k与制造弹簧的材料有关，材料不同，k值一般不同．上述实验中铜的k值k=10⁹N/m²（填上数值和单位）．
（2）用粗细不同的铜丝做成半径相同和匝数都相同的弹簧，则弹簧的刚性系数和横截面积的关系可以用图象中的图线a表示．
（3）如果用粗细相同的铜丝和钢丝做成匝数和半径相同的弹簧，都用10N的力拉伸时，用铜做成的弹簧变得更长．
（4）用横截面积为2×10^-6m²的铜丝制成一个半径为1×10^-2m、刚性系数为100N/m的弹簧，则该弹簧的匝数为80．

Answer 1

分析 （1）实验中主要有四个变量，分别为材料、横截面积、弹簧匝数和弹簧的半径，根据控制变量法的要求，分别比较实验1、3数据，实验3、5数据，可分析出横截面积、弹簧的半径与A的关系，再利用前面求得的横截面积与A的关系式，求得当实验1中的横截面积变为和实验4中的横截面积相同的A，与实验4进行比较得出弹簧匝数与A的关系，最终归纳出表达式，并利用表达式计算出铜的k值；
（2）通过刚性系数的表达式，可以看出，弹簧的刚性系数和和横截面积为正比例函数关系，因此，a是符合题意的；
（3）通过表格可以看出铜与钢谁的刚性系数更大，再根据相同条件下，刚性系数越大的弹簧越难被拉伸这一规律可做出判断；
（4）利用归纳得出的公式求出钢制造的弹簧的k值，将数据代入进行计算可得出该弹簧的匝数．

解答 解：（1）由题意和表格可知，弹簧的刚性系数A与制造弹簧的金属丝的材料、金属丝的横截面积S、弹簧的匝数n、弹簧的半径r有关；
①根据控制变量法，要研究弹簧的刚性系数A与制造弹簧的金属丝的横截面积S的关系，要使制造弹簧的材料、弹簧的匝数n、弹簧的半径r相同，改变金属丝的横截面积S，应选择表格中的实验1、实验3，
分析数据可知，实验1中金属丝的横截面积S为3×10^-6m²，实验3中金属丝的横截面积S为6×10^-6m²，实验3中金属丝的横截面积是实验1中金属丝的横截面积的2倍，
弹簧的刚性系数A由90N•m^-1变为360N•m^-1，实验3中弹簧的刚性系数是实验1中弹簧的刚性系数的4倍，
则当其他因素相同时，弹簧的刚性系数A与金属丝的横截面积S的关系可表示为A=k₁S²；
②根据控制变量法，要研究弹簧的刚性系数A与弹簧的半径r的关系，要使制造弹簧的材料、金属丝的横截面积S、弹簧的匝数n，改变弹簧的半径r，应选择表格中的实验3、实验5，
分析数据可知，实验3中弹簧的半径r为1×10^-2m，实验3中弹簧的半径r为2×10^-2m，实验5中弹簧的半径r是实验3中弹簧的半径r的2倍，
弹簧的刚性系数A由360N•m^-1变为45N•m^-1，实验5中弹簧的刚性系数是实验3中弹簧的刚性系数的$\frac{1}{8}$，
则当其他因素相同时弹簧的刚性系数A与弹簧的半径r的关系可表示为A=k₂ $\frac{1}{{r}^{3}}$；
③分析实验2，若其他因素保持不变，S由3×10^-6m²增大为原来的两倍变为6×10^-6m²，根据①中推导出的则当其他因素相同时，弹簧的刚性系数A与金属丝的横截面积S的关系表示式A=k₁S²可知，弹簧的刚性系数A应由由180N•m^-1增大为原来的4倍变为720N•m^-1，
即可得到如下数据：钢制造弹簧的金属丝的横截面积S为6×10^-6m²，弹簧的匝数n为100，弹簧的半径r为1×10^-2m，弹簧的刚性系数为720N•m^-1，
实验4与以上数据比较，其他因素保持不变，弹簧的匝数n有原来的100变为实验4中的200，为原来的2倍，弹簧的刚性系数A由720N•m^-1变为360N•m^-1，变为原来的$\frac{1}{2}$，则当其他因素相同时弹簧的刚性系数A与弹簧的匝数n的关系可表示为A=k₃ $\frac{1}{n}$；
综合①②③可知，弹簧的刚性系数A的表达式为A=k$\frac{{S}^{2}}{n{r}^{3}}$；
取任意一组铜制造的弹簧的实验数据代入弹簧的刚性系数A的表达式，以实验1数据代入为例，
90N/m=k_铜 $\frac{（3×1{0}^{-6}{m}^{2}）^{2}}{100×（1×1{0}^{-2}m）^{3}}$，解得k_铜=10⁹N/m²；
（2）用粗细不同的铜丝做成半径相同和匝数都相同的弹簧，由（1）③可知，弹簧的刚性系数和横截面积的关系式为A=k₃ $\frac{1}{n}$，为反正例函数关系，可以用如图中的图线a表示；
（3）比较实验数据1、2，当金属丝的横截面积S、弹簧的匝数n、弹簧的半径r均相同时，铜的刚性系数小于钢的刚性系数，
即用粗细相同的铜丝和钢丝做成匝数和半径相同的弹簧，都用10N的力拉伸时，用铜做成的弹簧变得更长；
（4）由（1）可知，弹簧的刚性系数A的表达式为A=k$\frac{{S}^{2}}{n{r}^{3}}$，
取任意一组钢制造的弹簧的实验数据代入弹簧的刚性系数A的表达式，以实验2数据代入为例，
180N/m=k_铜 $\frac{（3×1{0}^{-6}{m}^{2}）^{2}}{100×（1×1{0}^{-2}m）^{3}}$，解得k_钢=2×10⁹N/m²，
则钢制造的弹簧的刚性系数A的表达式为A=2×10⁹N/m² $\frac{{S}^{2}}{n{r}^{3}}$，
将数据代入得，100N/m=2×10⁹N/m² $\frac{{（2×1{0}^{-6}{m}^{2}）}^{2}}{n（1×1{0}^{-2}m）^{3}}$，
解得，n=80．
故答案为：（1）$\frac{{S}^{2}}{n{r}^{3}}$；10⁹N/m²；（2）a；（3）铜；（4）80．

点评 本实验中的变量比较多，在分析数据时，必须在保证其他变量不变的情况下，依次分析其中的一个变量与刚性系数之间的关系，最终综合成公式的形式，有了刚性系数的公式，剩余的问题基本要从公式入手进行分析和计算，本题的难点在于当有两个变量均改变时，如何研究其中的一个变量与刚性系数之间的关系，我们可以通过前面的关系式，推导得出一组新的只有一个变量改变的实验数据再进行分析比较．