Question

4．一个薄壁圆柱形容器放在水平桌面上，如图1所示，容器中立放着一个均匀实心圆柱体A，现慢慢向容器中加水（已知水的密度为ρ_水），加入的水对容器底部的压强p与所加水的质量m的关系图象如图3所示，容器足够高，在整个过程中无水溢出，A的底面始终与容器中的水面平行，当加入水的质量为m₁时，圆柱体A露出水面的高度为h₀，如图2所示．求：
（1）圆柱体的高度；
（2）圆柱体的密度；
（3）薄壁圆柱形容器的底面积．

Answer 1

分析 （1）当加入水的质量为m₁时，圆柱体A露出水面的高度为h₀，由图读出此时水的压强，利用p=ρgh求出水的深度，则可求出圆柱体的高度；
（2）根据图象可知，加入水的质量为m₁后，水对容器底部的压强增大得更缓慢一些，说明加入水的质量为m₁时圆柱体刚好处于漂浮状态，利用漂浮条件和阿基米德原理列出等式可求出圆柱体的密度；
（3）由图象可知，加入水的质量为m₁与m₂时对应水的压强分别为p₁、p₂，根据该过程中压强的变化量、所加水的质量变化量，利用△p=$\frac{△F}{S}$=$\frac{△{G}_{水}}{S}$求出容器的底面积．

解答 解：（1）由图3可知，当加入水的质量为m₁时，水对容器底部的压强为p₁，
由p=ρgh可得，此时水的深度：h₁=$\frac{{p}_{1}}{{ρ}_{水}g}$------------①
由题知，此时圆柱体A露出水面的高度为h₀，
则圆柱体的高度：h_A=h₁+h₀=$\frac{{p}_{1}}{{ρ}_{水}g}$+h₀------------②
（2）根据图3可知，加入水的质量大于m₁时，水对容器底部的压强增大得更缓慢一些，说明加入水的质量为m₁时圆柱体刚好处于漂浮状态，此后继续加水，圆柱体缓慢上升；
圆柱体刚好漂浮时，由漂浮条件可得：F_浮=G_A，
结合阿基米德原理可得：ρ_水gV_排=ρ_AV_Ag，
则ρ_水gS_Ah₁=ρ_AS_Ah_Ag，
所以ρ_A=$\frac{{h}_{1}}{{h}_{A}}$ρ_水------------③
将①②代入③可得：
ρ_A=$\frac{{h}_{1}}{{h}_{A}}$ρ_水=$\frac{\frac{{p}_{1}}{{ρ}_{水}g}}{\frac{{p}_{1}}{{ρ}_{水}g}+{h}_{0}}$•ρ_水=$\frac{{p}_{1}}{{p}_{1}+{ρ}_{水}g{h}_{0}}$•ρ_水；
（3）由图3可知，加入水的质量为m₁与m₂时对应水的压强分别为p₁、p₂，
则该过程中水的质量变化量为△m=m₂-m₁，水的压强变化量为△p=p₂-p₁，
因圆柱体在该过程中处于漂浮状态，由压强定义式可得△p=$\frac{△F}{S}$，
所以，圆柱形容器的底面积：
S=$\frac{△F}{△p}$=$\frac{△{G}_{水}}{△p}$=$\frac{△mg}{△p}$=$\frac{（{m}_{2}-{m}_{1}）g}{{p}_{2}-{p}_{1}}$．
答：（1）圆柱体的高度为$\frac{{p}_{1}}{{ρ}_{水}g}$+h₀；
（2）圆柱体的密度为$\frac{{p}_{1}}{{p}_{1}+{ρ}_{水}g{h}_{0}}$•ρ_水；
（3）薄壁圆柱形容器的底面积为$\frac{（{m}_{2}-{m}_{1}）g}{{p}_{2}-{p}_{1}}$．

点评 本题综合考查了液体压强公式、阿基米德原理、密度公式、压强定义式和漂浮条件的应用，关键是根据图象判断得出水的质量为m₁时圆柱体刚好处于漂浮状态，难点是根据水的压强增加量和加水的质量变化量求出容器的底面积．