Question

（2013?柳州）一正方体塑料块A边长l_A=0.2m，密度ρ_A=0.5×10³kg/m³；另一正方体B边长l_B=0.1m，密度未知．（水的密度ρ_水=1.0×10³kg/m³，取g=10N/kg）
（1）塑料块A的重力是多少？
（2）A、B分别放在水平地面时，B对地面的压强是A对地面压强的4.5倍，B的密度是多少？
（3）如图所示，将B置于A上表面后放入一个水平放置、底面是正方形（边长l=0.3m）的水槽，向水槽注入多少体积水后A的底面刚好能离开水槽？

Answer 1

分析：（1）已知正方体塑料块的边长，可以得到其体积；已知塑料块的体积和密度，可以得到质量，应用G=mg得到重力；
（2）已知两正方体对水平地面的压强关系，B的密度可以利用p=ρgh比较得出；
（3）已知B正方体的边长，可以得到其体积；已知密度和体积，可以得到B正方体的质量和重力；向水槽中注水时，两个正方体受到的浮力等于总重力时，A的底面就能离开水槽，据此得到排开水的体积；比较两物体离开底面时排开水的体积与物体A的体积，得到B物体浸入水中的体积；根据B物体浸入水中的体积和B的边长，得到B浸入水的深度；已知容器的底面积、物体A的边长、物体B的边长和浸入水的深度，得到注入水槽的水的最小体积．

解答：已知：l_A=0.2m  ρ_A=0.5×10³kg/m³ g=10N/kg  l_B=0.1m  p_B=4.5p_A ρ_水=1.0×10³kg/m³
求：（1）G_A=？（2）ρ_B=？（3）V_最少=？
解：
（1）塑料块A的体积为V_A=（l_A）³=（0.2m）³=8×10^-3_m3，
∵ρ=

m

V

，
∴塑料块的质量为m_A=ρ_A?V_A=0.5×10³kg/m³×8×10^-3_m3=4kg，
塑料块A的重力为G_A=m_Ag=4kg×10N/kg=40N；
（2）正方体对水平地面的压强关系为 p_B=4.5p_A
即4.5ρ_Agl_A=ρ_Bgl_B
代入数值，并化简得4.5×0.5×10³kg/m³×0.2m=ρ_B×0.1m
解得ρ_B=4.5×10³kg/m³；
（3）正方体B的体积为V_B=（l_B）³=（0.1m）³=10^-3m3
∵ρ=

m

V

∴正方体B的质量为m_B=ρ_B?V_B=4.5×10³kg/m³×10^-3_m3=4.5kg，
正方体B的重力为G_B=m_Bg=4.5kg×10N/kg=45N；
两个物体受到的总重力为G=G_A+G_B=40N+45N=85N；
要使正方体A的底面刚好离开水槽，F_浮=G=85N，
∵F_浮=ρ_液gV_排
∴排开水的体积为V_排=

F浮

ρ水g

=

85N

1.0×103kg/m3×10N/kg

=8.5×10^-3_m3．
∵V_排＞V_A，
即物体B有一部分浸入水中，
B物体排开水的体积为V_B排=V_排-V_A=8.5×10^-3_m3-8×10^-3_m3=0.5×10^-3_m3，
B浸入水中深度为h_B浸=

VB排

SB

=

0.5×10-3m3

(0.1m)2

=0.05m，
所以注入水槽的水的体积为V_最少=[（0.3m）²-（0.2m）²]×0.2m+[（0.3m）²-（0.1m）²]×0.05m=0.014m³．
答：（1）塑料块A的重力是40N；
（2）B正方体的密度是4.5×10³kg/m³；
（3）向水槽注入0.014^_m3水后A的底面刚好能离开水槽．

点评：此题考查了密度、重力、液体压强和阿基米德原理的应用，其中对于质量分布均匀、粗细均匀的固体，压强可以按照液体压强利用公式p=ρgh分析．