Question

相距3750m的甲、乙两车站之间有一条笔直的公路，每隔2min有一辆摩托车由甲站出发以20m/s的速度匀速开往乙站，每一辆摩托车在抵达乙站后都立即掉头以10m/s的速度匀速开回甲站。这样往返的车辆共有48辆；若在第一辆摩托车开出的同时，有一辆汽车由甲站出发匀速开始乙站，速度为15m/s，问汽车抵达乙站前最后将与从甲站开出的第几辆摩托车迎面相遇？相遇处距乙站多少米？

Answer 1

解：摩托车从甲地到乙地所需时间为t1＝S/v1＝3750m/(20m/s) ＝187.5s
　　设汽车速度为v＝15m/s  　　摩托车从乙地开往甲地的速度v2＝10m/s
　　设汽车抵达乙站前最后与甲站开出的第n辆摩托车相遇，相遇时汽车行驶的时间为t。
　　由题意知，每隔2min即Δt＝120s有一辆摩托车由甲站开出，则相遇时，第n辆摩托车行驶的时间为t－Δt(n－1)，第n辆摩托车从到乙站后和汽车相遇所经历的时间为　　
t－Δt(n－1)-t1
　　依据题意，摩托车在t－Δt(n－l)－t1这段时间内行驶的距离与汽车在时间t内行驶的距离之和正好等于甲、乙两地之间的距离。即
　　vt＋v2[t－Δt(n－1)－t1]＝s 　　化简得(v＋v2)t＝S＋v2t1＋v2Δt(n－1)
(15m/s＋10m/s)t＝3750m＋10m/s×187.5s＋10m/s×120s(n－1)
　　整理得25m/s×t＝4425m＋1200m×n
　汽车从甲地到乙地所需时间
故t＜t0＝250s
　　n为正整数
　　当n＝1时 可得t＝225s
　　当n＝2时 可得t＝273s＞t0＝250s
　　则根据上述分析，当n≥2时，都不合题意，只能取n＝1，此时t＝225s
　　汽车行驶距离为S1＝vt
　　此时汽车离乙站距离
　　S2＝S－S1＝s－vt ＝3750m－15m/s×225s＝375m
　　即汽车抵达乙站前最后将与从甲站开出的第1辆摩托车相遇，相遇处距乙站375m。

解析