Question

演绎式探究：
由于流体的粘滞性，使得在流体中运动的物体要受到流体阻力f．在一般情况下，半径为R的小球以速度v运动时，若用η表示流体的粘滞系数，则所受的流体阻力可用公式 f=6πηRv表示．
（1）小球在流体中运动时，速度越大，受到的阻力

越大

．
（2）密度为ρ、体积为V₀的小球在密度为ρ₀、粘滞系数为η的液体中由静止自由下落时的v-t图象如图所示．小宇查找相关的资料书，获知球的体积V与半径R之间的数学关系为V=

4

3

πR3，请推导出速度v_T的数学表达式：v_T=

2R2g(ρ-ρ0)

9η

．

Answer 1

分析：（1）根据公式f=6πηRv，来分析阻力f与速度v的关系．
（2）对小球进行受力分析，它在流体中下落受到重力、浮力和阻力的作用．由图形分析可知，当小球速度达到v_r时便匀速下落，处于平衡状态，G=F_浮+f．将数据代入公式化简即可．

解答：解：
（1）由公式f=6πηRv可以看出，小球所受流体的阻力f与小球的速度v成正比例关系，所以，小球速度越大，所受阻力越大．
（2）小球在流体中下落时受重力、浮力和阻力的作用．
小球受到的重力：G=mg=ρVg=

4

3

πR³ρg；
小球所受浮力：F_浮=ρ₀Vg=

4

3

πR³ρ₀g；
小球所受流体阻力：f=6πηRv．
由图象可知，当小球速度达到v_r时便匀速下落，处于平衡状态，此时小球所受合力为零，则G=F_浮+f．
即：

4

3

πR³ρg=

4

3

πR³ρ₀g+6πηRv_r．
化简可得：v_r=

2R2g(ρ-ρ0)

9η

．
故答案为：（1）越大；（2）

2R2g(ρ-ρ0)

9η

．

点评：本题实际上是一道大型的计算题，并且计算公式是课本上没有接触到的，题目的难度较大，它考查了学生的自学能力以及对新知识的整合能力、计算能力等各方面的能力．