Question

4．如图甲所示电路，电源电压U₀保持不变，初始时滑动变阻器的滑片P在最右端，但由于滑动变阻器某处发生短路（只有一段短路），合上开关后滑片P向左滑过过程中，电压表读数U与滑动距离x、电流表读数I与滑动距离x的关系如图乙所示，则：

（1）根据图象可知：短路点位置在x等于4cm处开始，共有3cm发生短路；
（2）电源电压U₀和电阻R₂的阻值分别多大？
（3）当X为多少cm时，滑动变阻器的电功率为最大，最大值是多少？

Answer 1

分析 由电路图可知，R₁与R₂串联，电压表测R₁两端的电压，电流表测电路中的电流．
（1）滑动变阻器某处发生短路时，滑片在短路长度内移动时，电路中的电流不变，电压表的示数不变，根据图乙确定短路点的位置和发生短路的长度；
（2）根据图乙读出x=7cm和x=11cm时两电表的示数，根据串联电路的特点和欧姆定律分别表示出电源的电压，利用电源的电压不变得出等式即可求出R₂的阻值和电源的电压；
（3）根据电阻的串联和欧姆定律表示电路中的电流，根据P=I²R表示出R₂的电功率，然后根据公式变形得出答案．
根据欧姆定律求出x=7cm和x=11cm时变阻器接入电路中的电阻，进一步求出滑片每滑过1cm变阻器阻值的变化．

解答 解：由电路图可知，R₁与R₂串联，电压表测R₁两端的电压，电流表测电路中的电流．
（1）滑动变阻器某处发生短路时，滑片在短路长度内移动时，电路中的电流不变，电压表的示数不变，
由图乙可知，短路点位置在x=4cm处开始，x=7cm处结束，共有3cm发生短路；
（2）由图乙可知，当x=7cm时，电压表的示数U₁=2.4V，电流表的示数I₁=0.15A，
因串联电路中总电压等于各分电压之和，
所以，由I=$\frac{U}{R}$可得，电源的电压：
U₀=U₁+I₁R₂=2.4V+0.15A×R₂，
当x=11cm时，电压表的示数U₁′=2V，电流表的示数I₂=0.25A，
则电源的电压：
U₀=U₁′+I₂R₂=2V+0.25A×R₂，
因电源的电压不变，
所以，2.4V+0.15A×R₂=2V+0.25A×R₂，
解得：R₂=4Ω，
电源的电压U₀=U₁+I₁R₂=2.4V+0.15A×4Ω=3V；
（3）电路中的电流：I=$\frac{U}{{R}_{1}+{R}_{2}}$，
滑动变阻器的电功率：
P₁=I²R₁=（$\frac{U}{{R}_{1}+{R}_{2}}$）²R₁=$\frac{{U}^{2}}{\frac{（{R}_{1}+{R}_{2}）^{2}}{{R}_{1}}}$=$\frac{{U}^{2}}{\frac{{R}_{1}^{2}+2{R}_{1}{R}_{2}+{{R}_{2}}^{2}}{{R}_{1}}}$=$\frac{{U}^{2}}{\frac{{R}_{1}^{2}-2{R}_{1}{R}_{2}+{{R}_{2}}^{2}+4{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}}}$=$\frac{U}{\frac{（{R}_{1}-{R}_{2}）^{2}}{{R}_{1}}+4{R}_{2}}$，
所以，当R₁=R₂=4Ω时，滑动变阻器消耗的电功率最大，
由于当x=7cm和x=11cm时，变阻器接入电路中的电阻：
R₇=$\frac{{U}_{1}}{{I}_{1}}$=$\frac{2.4V}{0.15A}$=16Ω，R₁₁=$\frac{{U}_{1}′}{{I}_{2}}$=$\frac{2V}{0.25A}$=8Ω，
所以，△R₁=R₇-R₁₁=16Ω-8Ω=8Ω，
R₁的长度变化了△x=11cm-7cm=4cm，
该滑动变阻器滑片每滑过1cm，其阻值变化$\frac{8Ω}{4}$=2Ω；
所以，根据x=11cm时R₁₁=8Ω，可知R₁=4Ω时需要再向左移动2cm，即当X为11cm+2cm=13cm，
则滑动变阻器的电功率最大值是：
P_1大=$\frac{{U}^{2}}{4{R}_{2}}$=$\frac{（3V）^{2}}{4×4Ω}$=0.5625W．
答：（1）4；3；
（2）电源电压U₀为3V，电阻R₂的阻值为4Ω；
（3）当X为13cm时，滑动变阻器的电功率为最大，最大值是0.5625W．

点评 本题考查了串联电路的特点和欧姆定律的运用，关键是会分析图象得出滑片处于不同位置时电压表和电流表的示数．