(本小题12分)如图,四棱锥
中,
侧面
是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面
是
的菱形,
为
的中点.
(1)求
与底面
所成角的大小;
(2)求证:
平面
;
(3)求二面角
的余弦值.
(1)取
DC的中点
O,由Δ
PDC是正三角形,有
PO⊥
DC.
又∵平面
PDC⊥底面
ABCD,∴
PO⊥平面
ABCD于
O.
连结
OA,则
OA是
PA在底面上的射影.∴∠
PAO就是
PA与底面所成角.
∵∠
ADC=60°,由已知Δ
PCD和Δ
ACD是全等的正三角形,从而求得
OA=
OP=
.
∴∠
PAO=45°.∴
PA与底面
ABCD可成角的大小为45°.
(2)由底面
ABCD为菱形且∠
ADC=60°,
DC=2,
DO=1,有
OA⊥
DC.
建立空间直角坐标系如图,则
,
.
由
M为
PB中点,∴
.
∴
.
∴
,
.
∴
PA⊥
DM,
PA⊥
DC. ∴
PA⊥平面
DMC. (3)
.令平面
BMC的法向量
,
则
,从而
x+
z=0; ……①,
,从而
. ……②
由①、②,取
x=?1,则
. ∴可取
.
由(2)知平面
CDM的法向量可取
,
∴
. ∴所求二面角的余弦值为-
.
法二:(1)方法同上
(2)取
的中点
,连接
,由(Ⅰ)知,在菱形
中,由于
,则
,又
,则
,即
,
又在
中,中位线
,
,则
,则四边形
为
,所以
,在
中,
,则
,故
而
,
则
(3)由(2)知
,则
为二面角
的平面角,在
中,易得
,
,
故,所求二面角的余弦值为
解析:
略
练习册系列答案
相关习题
科目:初中英语
来源:
题型:
(本小题满分12分)
如图,菱形
的边长为
,
,
.将菱形
沿对角线
折起,得到三棱锥
,点
是棱
的中点,
.
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)求证:平面
平面
;
(III)求三棱锥
的体积.
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科目:初中英语
来源:
题型:
(本小题共12分)如图所示,
平面
,
平面
,
,
,
,
为
的中点.
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)求证:平面
平面
.
(Ⅲ)求凸多面体
的体积为
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科目:初中英语
来源:
题型:
((本小题满分12分)
如图,在四棱锥
P—ABCD中,
底面
ABCD,底面为直角梯形,
,
且
AD=2,
AB=BC=1,
PA=
(Ⅰ)设
M为
PD的中点,求证:
平面
PAB;
(Ⅱ)若二面角
B—PC—D的大小为150°,求此四棱锥的体积.
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科目:初中英语
来源:
题型:
(本小题满分12分)
如图,四边形
是直角梯形,∠
=90°,
∥
,
=1,
=2,又
=1,∠
=120°,
⊥
,直线
与直线
所成的角为60°.
(Ⅰ)求证:平面
⊥平面
;
(Ⅱ)求二面角
的余弦值.
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