Question

【题目】根据气体分子动理论，容器内的气体分子不断地往各个方向运动，也不断地碰撞器壁，因而产生压力。设容器内单位体积所含的气体分子数目为n，气体分子的平均速率为，则在器壁上每单位面积每单位时间内，气体分子碰撞器壁的总数等于。当气体的绝对温度为Τ时，式中m为气体分子的质量，为波兹曼常数。一摩尔空气的质量为28.8g。

(1)如图所示为保温瓶的结构。瓶壁为一真空夹层，在室温时被抽至压力的真空，作为绝热之用。设瓶壁的表面积为，瓶壁的热发射率，室温，现将1.0L，90℃的热水倒入瓶内，若经由上盖散失的热量可以不计，估算瓶内水的热量散失率。

提示：保温瓶夹层的外壁为室温，内壁则和热水的温度相同，夹层内部的残留气体分子会和内外壁碰撞，因而移转热量，故这一部分的气体又称为热交换气体。

(2)估算热水从90℃冷却至70℃需要的时。

提示：可能用到的积分公式。

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

(1)瓶内水的热量散失主要有两个来源：一是瓶壁的热辐射；二是真空夹层内残留空气的热交换。

分别估算如下：①瓶壁的热辐射

从较热的内壁传到较冷的外壁的热辐射功率为，

式中T为瓶内的水温，为室温。

代入、、、和，计算得

。

②真空夹层内残留空气的热交换

夹层内的气体分子借由碰撞器壁而交换热量。一个气体分子先碰撞较热的内壁取得热量后，再碰撞较冷的外壁而损失热量，其净散失的热量为

，

式中为定容比热。对空气而言，。

单位时间内碰撞器壁面积为Α的气体分子数为，

故热量的散失功率为，

式中，

。

代入已知的数据，计算得。

瓶内水的热量散失率为

。

(2)设瓶内水的质量为M，水的比热为c，则在dt时间内，瓶内水所散失的热功率为，导致水温下降dT。由能量守恒定律可得

，

。

式中可近似如下：

。

由于，上式中的括号项可应用二项式展开，仅取的一次方项，即

。

于是有

。

积分后整理得。

代入数据得。

保温瓶中的热水从90℃冷却至70℃,约需6小时15分钟。