Question

【题目】已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．
（1）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；
（2）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3．

①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，

解得a＞﹣ ，所以﹣ ＜a≤0；

②当0＜a＜ 时，得a+（1﹣2a）＜3，

解得a＞﹣2，所以0＜a＜ ；

③当a≥ 时，得a﹣（1﹣2a）＜3，

解得a＜ ，所以 ≤a＜ ；

综上所述，实数a的取值范围是（﹣ ， ）

（2）解：因为a≥1，x∈R，

所以f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|（x+a﹣1）﹣（x﹣2a）|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2

【解析】（1）根据函数值的取值范围列出不等式，再对a进行分类讨论去掉绝对值进行解不等式，进而求得实数a的取值范围；（2）利用基本不等式：|a|+|b|≥|a﹣b|，证得所给不等式成立.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用绝对值不等式的解法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．