Question

【题目】已知函数f（x）=|x+2|，x∈R．
（1）解不等式f（2x）≤12﹣f（x﹣3）；
（2）已知不等式f（2x）≤f（2x﹣3）+|x+a|的解集为M，且 ，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：不等式f（2x）≤12﹣f（x﹣3），即|2x+2|+|x﹣1|≤12．

x＜﹣1时，不等式化为﹣2x﹣2﹣x+1≤12，解得x≥﹣ ，∴﹣ ≤x＜﹣1；

﹣1≤x≤1时，不等式化为2x+2﹣x+1≤12，解得x≤9，∴﹣1≤x≤1；

x＞1时，不等式化为2x+2+x﹣1≤12，解得x≤ ，∴1＜x≤ ；

综上所述，不等式的解集为[﹣ ， ]

（2）解：x∈（ ，1），不等式f（2x）≤f（2x﹣3）+|x+a|，即|x+a|≥3，

∴x≤﹣a﹣3或x≥﹣a+3，若M∩（ ，1）=，

∴ ，∴﹣ ≤a≤2，

∵ ，∴a＜﹣ 或a＞2

【解析】（1）分类讨论，即可解不等式；（2）x∈（ ，1），不等式f（2x）≤f（2x﹣3）+|x+a|，即|x+a|≥3，求出M∩（ ，1）=的a的范围，再求补集即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解绝对值不等式的解法(含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号)．