Question

【题目】三个半径同为R、质量同为m的匀质光滑小球放在光滑水平桌面上，用一根不可伸长的均匀橡皮筋把它们约束起来。再如图所示地将一个半径也为R，质量是上述各小球质量3倍的匀质光滑小球放在上述3个小球中间正上方，因受橡皮筋约束，下面3个小球并未分离。试求：

（1）放置上面的小球后，橡皮筋张力增量；

（2）将橡皮筋剪断后，上面的小球碰到桌面时的速度u。

Answer 1

【答案】(1) （2）

【解析】

称上面的小球为球1，球心为，下面3个小球分别为球2、球3、球4，球心对应为、、。

（1）连结、、、，如图乙所示，则各球心之间的距离均为2R。对图中的角，易知有

，。

设球1对下面每个小球压力为N，则球2、3、4对球1反作用力的合力为3mg（球1的质量设为3m），即有

。

由此可得。

球2、3、4各自所受力N的水平分力为

。

如图丙所示，橡皮筋张力T的增量应正好用来平衡。易得到

，即。

（2）橡皮筋剪断后，球1开始向下运动，球2、3，4在球1的压力作用下做水平运动。球1运动一段时间后，会与球2、3、4分离，分离的条件是相互间作用力。球1与下面3个小球分离后，将在重力作用下做匀加速直线运动。根据系统的对称性，可知球2、3、4运动速率相同，速度方向沿中心O到各顶点（i=1、2、3）连线的延长线方向。如图丁所示，设的向下速度为，沿方向的速度为，直角三角形中的用代表，角的初始值应满足，而后角减小。假设角小到某值时，球1与其余3个小球之间的正压力N为零，则彼此将分离。此时随一起运动的参考系为惯性系，相对的速度为

。

因球1与球2尚未分离，故仍有

。

的条件为球1相对球2运动的向心力恰好为球1所受重力的分力，即有

。

与上式联立，可解得

，。

此时球1下降高度为。

据机械能守恒，有

。

将、表述式代入，可解得。

代入表述式后，可得。

球1与下面3个小球分离后，即做自由落体运动。球1与桌面相遇时的速度u与初速度间的关系为

，

其中h为下落高度，应有：。

最后可算得球1碰到桌面时的速度为。