Question

【题目】如图甲所示，竖直平面上有一条光滑的四分之一圆弧轨道AB，它的圆心O与A点等高，A到B又有一条光滑的直线轨道，小球从A点自静止出发沿圆弧轨道到达B点所需的时间记为，沿直线轨道到达B点所需的时间记为。试比较和的大小。若圆弧轨道不足四分之一圆弧，但最低点的切线仍水平，且直线轨道仍连接圆弧两端，再讨论之。

Answer 1

【答案】，

【解析】

解析：这是一个古老的问题，早在伽利略时代就已经提了出来，只是原始问题并不受四分之一圆弧的限制，更具有普遍性。伽利略认为沿圆弧下降得快，不仅如此，他还认为，A、B间的最快速降线就是圆弧，虽然这一结论早已被证明是错误的，但作为中学生，要给出确切的轨道仍然不能完成，即便是让学生比较圆弧轨道与直线轨道的快慢都不是一件容易的事情。下面我们通过构建过渡模型，解决上述问题。

我们先构建如图乙所示的AB及两条轨道，让小球从A点开始，由静止分别沿不同的轨道滑至B及，很容易证明，小球沿这两条轨道滑行的时间是相同的，即为。（证明略）

现在乙图的基础上作出丙图。在图中以C点为顶点作小角的两条射线，两条射线在圈弧AB上截得一小段长为的圆弧，在上截得一小段长为的线段。

由图可知，小球在小圆弧处的速度大小为

。

则小球经过小段圆弧的时间为

。

小球在处的速度大小为。

当为小角时，易得，

则小球经过的时间为

。

将与比较得。

即恒有，再将其累加求和可得。

若圆环轨道不足四分之一圆弧，但最低点的切线仍水平，这是更具有普遍性的模型。作如图丁所示的图形，同样设小球沿圆弧轨道AB运动的时间为，沿直线轨道AB运动的时间为，参照图示的标注并结合前面的讨论内容可知，小球沿直线轨道AB运动的时间与沿竖直线运动的时间相等，同为。

在图中，圆弧长度为，其中R为圆半径。圈弧段的速度参量可求得为

。

经此圆弧段所需时间为

。

图中有关系，由正弦定理得

，

因此。

圆弧段对应的直线段便为

。

段的速度为

。

小球经段的时间为

。

将与作比较得

。

因为，（B在A的下方），所以，即，得，各自累加得与，则必有。

在此作一点说明，伽利略认为A、B间的最快速降线是某条圆弧的观点虽然不正确，但值得讨论的是，连接A、B的所有可能圆弧中究竟是哪一条下降得最快？