Question

【题目】选修4-1：集合证明选讲
如图，在正方形ABCD ， E,G分别在边DA,DC上（不与端点重合），且DE=DG ， 过D点作DF⊥CE ， 垂足为F.

（1）证明：B,C,E,F四点共圆；
（2）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵DF⊥CE，

∴Rt△DFC∽Rt△EDC，

∴，

∵DE=DG，CD=BC，

∴

又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF，

∴△GDF∽△BCF，

∴∠CFB=∠DFG，

∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，

∴∠GFB+∠GCB=180°，

∴B，C，G，F四点共圆．

（2）

∵E为AD中点， ，

∴ ，

∴在 中， ，

连接 ， ，

∴

【解析】（1）证明B，C，G，F四点共圆可证明四边形BCGF对角互补，由已知条件可知∠BCD=90°，因此问题可转化为证明∠GFB=90°；（2）在Rt△DFC中，GF= CD=GC，因此可得△GFB≌△GCB，则S四边形BCGF=2S△BCG ， 据此解答