Question

【题目】如图所示，竖直的光滑墙面上有和两个钉子，二者处于同一水平高度，间距为，有一原长为、劲度系数为的轻橡皮筋，一端由钉固定，另一端系有一质量为的小球，其中为重力加速度，钉子和小球都可视为质点，小球和任何物体碰撞都是完全非弹性碰撞而且不发生粘连.现将小球水平向右拉伸到与钉距离为的点，钉恰好处于橡皮筋下面并始终与之光滑接触.初始时刻小球获得大小为、方向竖直向下的速度，试确定此后小球沿竖直方向的速度为零的时刻.

Answer 1

【答案】

【解析】

以钉为坐标原点建坐标系，如图所示.小球在被释放后受到本身重力和橡皮筋的弹力两个力的作用.设小球相对于原点（即钉）的位置由位矢表示，则弹力可表示为

. ①

小球的运动方程为坐标系下分解为

， ②

. ③

定义方向新坐标，③式可改写为

. ④

由②和④式知小球在水平和竖直方向都做简谐振动，其振动方程可表示为

， ⑤

. ⑥

利用参考圆可得到小球速度的表达式：

， ⑦

. ⑧

将如下初始条件

， ⑨

， ⑩

，

代入⑤至⑧式，可解得振幅和及位相和.再利用，上述振动方程和速度表达式可用已知量表示为

，

，

，

.

由式可求出小球速度沿方向分量第一次为零的时刻，即，其中

.

此后，如果小球沿方向的振动没有中断，当小球沿方向的振动到达最大振幅处时，式右端便等于零.然而，按式右端等于零所求出的其他时刻并不是满足题意的解.因为在按式求出的竖直速度等于零的第二个时刻之前，小球将和钉发生碰撞，碰撞时刻为

.

此刻，按和两式可知

，

.

这恰好是钉的位置.这样，小球将在时和钉发生完全非弹性碰撞，碰撞后小球速度为零；由于碰撞过程时间极短，时刻就是小球速度沿方向分量第二次为零的时刻.碰撞后小球并不和钉粘连，所以小球将沿方向做一维的简谐振动，由④式可知此振动周期为

.

每经过半个振动周期，都会出现速度为零的情况（此时自然有）.这样，除和式确定的前两个特定时刻之外，每当

时，小球速度都为零，因而其沿方向的速度分量也为零.

本题是第29届全国高中物理竞赛决赛试题.

振动问题由于较为容易地构造出综合模型，因此不论是复赛还是决赛，历来都是命题的热点区域.

在平时的训练中，对于正交的方向上的振动，我们讨论较多的是平衡位置处于一点的情况，本题的命题人别出心裁地构造了一个正交两方向上振动的平衡位置不在一点的模型.虽然我们曾分别讨论过类似于本题中水平方向与竖直的振动情形，但将它们合在一起进行讨论，至少在此题之前，可能不曾有过，但对于优秀的高中生而言，只要真正领会了振动的合成，本题的处理也不过是情境复杂一点、运算复杂一些而已.

额外说明一点：近年的高中物理竞赛，不论是复赛还是决赛，对学生的运算能力的要求越来越高，运算量大是一种常态，没有过硬的运算能力，很难冲出重围.