Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+a|﹣x﹣2．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞0的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且存在x0∈[﹣a，1），使得f（x0）≤0，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式即|x﹣1|+|x+1|﹣x﹣2＞0，

等价于 或 或

解得x≤﹣1或﹣1＜x＜0或x＞2，

即不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．

（Ⅱ）当x∈[﹣a，1）时，f（x）=a﹣x﹣1，不等式f（x）≤0可化为a≤x+1，

若存在x0∈[﹣a，1），使得f（x0）≤0，则a＜2，

所以a的取值范围为（﹣1，2）．

【解析】（1）当a=1时，进行零点区间讨论，解出满足不等式的解集；（2）根据题意不等式可化为a≤x+1，若存在x0使得不等式成立，解得-1＜a＜2.

【考点精析】利用绝对值不等式的解法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．