Question

【题目】球面透镜一般只对近轴光线才能近似地成像。对于下图所示的弯月形透镜，当物点位于主光轴上的特殊点时，即使是非近轴光线，经透镜折射后的出射光线也均能交于同一点，即能理想成像。今有一弯月形透镜，透镜折射率为n，放置在空气中，两球面，和的球心分别为和，球面的半径为。已知，物点Q位于点。试证明：

(1)从Q点发出的任何经透镜的光线（包括非近轴光线），经透镜折射后，出射光线都能相交于同一像点；

(2)。

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】

解析 首先考虑面上的折射，由于物在球心处，全部入射光线无折射地通过面，所以对来说，物点就在处。

再考虑到面上的折射。设入射光线与主轴的夹角为，入射点为P，入射角为i，折射角为r，折射线的延长线与主轴的交点为Q（如图乙所示），则由折射定律知

。

在中应用正弦定理得

。

已知，由此得，

，

所以。

设CP与主轴的夹角为α，则有

。

显然，时，a，因此出射线与主轴相交之点Q必在透镜左方。

为的外角，有

。

在中应用正弦定理，得

，。

的数值与无关，由此可见，所有出射线的延长线都交于同一点，且此点与的距离为