Question

【题目】如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．

（1）求证：AB为圆的直径；
（2）若AC=BD，求证：AB=ED．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，

∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA，

∵∠PGD=∠EGA，

∴∠DBA=∠EGA，

∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，

∴∠BDA=∠PFA，

∵AF⊥EP，

∴∠PFA=90°．

∴∠BDA=90°，

∴AB为圆的直径；

（2）证明：连接BC，DC，则

∵AB为圆的直径，

∴∠BDA=∠ACB=90°，

在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，

∴Rt△BDA≌Rt△ACB，

∴∠DAB=∠CBA，

∵∠DCB=∠DAB，

∴∠DCB=∠CBA，

∴DC∥AB，

∵AB⊥EP，

∴DC⊥EP，

∴∠DCE为直角，

∴ED为圆的直径，

∵AB为圆的直径，

∴AB=ED．

【解析】（1）证明AB为圆的直径，只需证明∠BDA=90°；（2）证明Rt△BDA≌Rt△ACB，再证明∠DCE为直角，即可证明AB=ED．