Question

【题目】如图所示，在标准大气压下，一端封闭的玻璃管长，内有一段长的水银柱，温度为27℃且管口向上竖直放置时，被封闭的气柱长为。试问：当温度至少升高到多少度，水银柱才会从玻璃管中全部溢出？（大气压强）

Answer 1

【答案】

【解析】

本题给出的过程是由一系列非平衡状态构成的非静态过程，整个过程是满足理想气体的状态方程的，通常情况下是选择初态与末态来应用气态方程求解，且以水银全部溢出时作为末态，即设全部溢出水银时温度为T，根据气态方程有

求得。

然而这一结果却是错误的，初次接触本题时，很容易落入上述的解题陷阱中。下面我们根据过程逐步分析，作出某些判断才得到正确解答。

因为，当气体的温度上升时，其体积增大，水银柱上升，在水银柱上升距离小于（时，水银不会溢出，故此过程中气体的压强恒定，气体等压膨胀。当水银柱升到与管口相齐时，温度继续升高，气体体积膨胀，水银将开始溢出。这时，气体上方水银柱长度在变化，因此气体的状态参量p、V、T均发生变化，但只要水银没有全部溢出，气体的质量将保持一定。由理想气体状态方程 恒量，可知，要Τ有最大值，则要pV最大。此时对应温度Τ为水银全部溢出的最低温度，即温度稍微上升时，水银继续溢出，压强减小，气体体积膨胀，水银会自动全部溢出。所以找出pV的表达式，讨论值最大时，Τ应为何值便可。

先计算加热到时，水银柱上升到与管口平齐，则此时气柱长为。只要水银还未外溢，气柱压强仍保持不变。由盖·吕萨克定律可知V与Τ成正比，得

即，

解得。

当温度继续上升，水银开始溢出，气柱体积继续增大，但气柱压强要减少，这时pV值是增大还是减少不可以定性直接判断。我们知道，当pV值最大时，对应的温度是最高。故要借助数学工具进行讨论。

设此时水银柱长xcm，气体压强，气柱长。

此时pV有最大值。即讨论当x为何值时pV有最大值。用厘米长气柱作为体积单位，则

。

当时（符合的要求），pV值有最大值。

由气态方程得

，

即。

当温度在385.2K基础上再稍微上升时，气体体积膨账，压强减少，水银继续溢出，气体体积继续膨胀，直到自动全部溢出为止。