Question

【题目】如图1所示的无限旋转内接正方形金属丝网络由一种粗细一致、材料相同的金属丝构成，其中每一个内接正方形的顶点都在外侧正方形四边中点上．已知与最外侧正方形边长相同的同种金属丝的电阻为，求网络中

(1)A、C两端间等效电阻；

(2)E、G两端间等效电阻．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

(1)先考察B、D连线上的节点．由于这些节点都处于从A到C途径的中点上，在A、C两端接上电源时，这些节点必然处在一等势线上．因此可将这些节点“拆开”，将原网络等效成如图2所示网络．

接着可将网络沿A、C连线对折叠合，使原来左、右对称的金属丝、节点相互重合，从而又等效成如图3所示网络．

注意到图3中A、C间网络与J、I间网络在形式上的相似性，而图3且后者恰好是前者在线度上缩小的结构，因此有

．

将折叠后与AE同长的双金属丝电阻记为，对应地与EH同长的双金属丝电阻记为，不难算得到

，．

再将如图3所示网络“量化”成如图4所示网络，其中虚线框内的上、下两端间电阻为

于是有

解之，得．

(2)能否采用1．中所取的递归方法来求解呢？由于此时不存在结构相似的内层网络，故不能采用这一方法．解决的方法当然还是有的，这就是利用1．的结果进行简化．

据对称性，将原网络中AD边的中点、BC边的中点处节点“拆开”，等效成如图5所示网络．此网络中通过E、G两端与外正方形连接的内无限小网络与原网络结构相同，只是线度缩短为原线度的倍，小网络E、G之间的等效电阻便为原网络A、C间等效电阻的倍．据此，可将图5网络“量化”成图6所示的网络，有

将1．中算得的代入后，可得