Question

【题目】已知函数f（x）为二次函数，满足f（0）=1，且f（x+1）﹣f（x）=2x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若方程f（2x）=2x+a在x∈（﹣∞，2]上有两个不同的解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，

∴f（x）=ax2+bx+1，

∴f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+1=ax2+（2a+b）x+a+b+1，

∴f（x+1）﹣f（x）=ax2+（2a+b）x+a+b+1﹣ax2﹣bx﹣1

=2ax+a+b，

∵f（x+1）﹣f（x）=2x，

∴2ax+a+b=2x，

∴2a=2且a+b=0，

∴a=1，b=﹣1，

∴f（x）=x2﹣x+1

（2）解：若方程f（2x）=2x+a在x∈（﹣∞，2]上有两个不同的解，

即a=（2x﹣1）2在x∈（﹣∞，2]上有两个不同的解，

令t=2x，则0＜t≤4，

令g（t）=（t﹣1）2，

画出函数g（t）和y=a的图象，如图所示：

故0＜a＜1．

【解析】（1）设出函数f（x）的解析式，根据f（0）=1求出c的值，根据f（x+1）﹣f（x）=2x，求出a，b的值，从而求出函数的解析式即可；（2）问题转化为a=（2x﹣1）2在x∈（﹣∞，2]上有两个不同的解，令t=2x，则0＜t≤4，令g（t）=（t﹣1）2，画出函数g（t）和y=a的图象，读出a的范围即可．
【考点精析】利用二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．