Question

【题目】如图所示，一个圆柱形容器，高为h，半径为a，容器中装有高度为的液体。容器绕它竖直方向的轴以角速度旋转。忽略任何表面张力的效应，求使液体不溢出容器边缘的最大角速度的表达式。

Answer 1

【答案】

【解析】

原则上，本题既可用力来进行处理，也可以用势来处理，这里选择后者。

在转动参考系中讨论，本问题属于静平衡的问题。在转动参考系中，液体表面静止不动，无表面方向的流动，即平衡的表面是一个等势面（惯性离心力和重力作用的结果）。

在转动系中，由于总的力场是由两个力场组成的，每个分力场的势能零点可以独立地选定（其和最多差一个常量）。

离心力势能：将势能零点选择于处，则

。

重力势能：将势能零点选择于处，则

。

所以，整个曲面在选择最低点作为原点的条件下，表面的势能为零，写出方程：

，即。

液体不溢出容器的为曲面所围的在容器内的容积正好等于整个容器体积的，即

，可得。

又满足，

则。