Question

【题目】如图所示，在半径为的无限长圆柱形区域内有匀强磁场，磁场的方向与圆柱的轴平行，在图中垂直纸平面向外.将半径也为的光滑绝缘细环固定在纸平面上，并正好套住磁场区.在细环上串有一个质量为、电量为（）的带电小珠.设时，磁场，小珠在环上静止；时，随时间均匀地增长：时，；时，不变.试定量地讨论时小珠的运动状态以及小珠对圆环的正压力（沿图中径向）.设图中纸平面为水平面，小珠所受重力与环的支持力抵消.

Answer 1

【答案】在时间内，小珠对圆环的正压力为。当时。小珠对圆环的正压力为

【解析】

无限长圆柱形区域内匀强磁场随时间的变化产生涡旋电场，其电场线是以圆柱中央轴为圆心的一系列同心圆，固定细环所在处就是涡旋电场的电场线，串在细环上的带电小珠将受涡旋电场作用.涡旋电场对带电小珠的作用力沿细环切向，使小珠获得切向加速度，于是小珠绕细环做圆周运动的速度逐渐增大.随着小珠绕细环的运动，小珠还将受到磁场的洛仑兹力（其方向沿径向指向环心）以及细环的作用力（其方向也沿径向，由环心外指），两者的矢量和为小珠绕细环的圆周运动提供所需的向心力.所求小珠对细环的正压力正是上述细环对小珠作用力的反作用力.由已知条件，在时间内，磁场随时间线性地增长，且时，时，故有.在此时间内，随的变化率为.

磁场的变化产生了涡旋电场，其电场线是一系列以圆柱中央轴为圆心的同心圆.由楞次定律，涡旋电场的圆形电场线为顺时针方向，故小珠所在处的方向如图所示.

的大小的

由此，小珠受到的沿环切向的涡旋电场的作用力为

，

相应的切向加速度为.

因小珠在静止，故在时刻绕环做圆周运动的速度.

当小珠在时刻以绕环运动时，所受磁场的洛仑兹力指向圆心（如图所示），其大小为

.

同时，小珠还受到细环的作用力（方向见图），与的矢量和提供了小珠绕环以运动所需的向心力（指向环心），其大小为

.

可见，的一半提供为向心，另一半被抵消（故的方向必由环心外指），即.

小珠对细环的正压力是的反作用力，故的方向沿径向指向圆心，大小为.

当时，保持恒定，故涡旋电场不再存在，切向加速度随之消失，此时小珠将绕细环做匀速圆周运动，其速度.

此时小珠所受的洛仑兹力为（在上述公式中取）.

此时小珠所需的向心力为（在的公式中取，）

.

可见，仍有一半被抵消，同样仍成立，故.

在电磁感应现象中，若以导体为载体，则计算的多为感应电动势，同时伴随电路问题的研究；而撇开导体，研究的往往是感生电场，同时伴随着带电粒子在电场作用下的运动，而这种运动又是以洛仑兹力为背景的.

感生电动势与感生电场既相关联，又有差别，读者应注意对这两类问题进行专题分析与研究，熟练甄别其不同之处.