Question

【题目】如图甲所示，S为离子源，它能各向同性地发射质量为m、电量为q、速率同为的离子。S右侧有一半径为R的圆屏，S与圆屏中心O的连线垂直于圆屏。设周围空间有匀强磁场，磁感应强度B的方向与S到O的方向一致。S发射的离子中，有些离子不管S、O之间的距离如何变化，总能打到屏面上，试求这些离子的数目占总发射离子数的百分比。解题时不必考虑离子间的相互作用。

Answer 1

【答案】

【解析】

将从S射出的离子初速度与B的夹角记为，那么与B垂直的分量为。

离子在匀强磁场中将作等距螺旋线运动，旋转的圆半径为：。

对于不管S、O之间的距离如何变化总能打到屏上的离子，要求满足

，即。

取的下限满足：。

以S为球心，某个长度参量为半径作一球面，在此球面上取一球帽，使其与有如图乙所示的对应关系，那么，从S发出的离子凡是能打在此球帽上的，均为符合要求的粒子，考虑到粒子是各向同性发射的，符合要求的离子数目占总离子数目的百分比k，即为球帽面积与球面面积之比，根据数学中给出的球帽公式，有

。

于是，所求k值便为

。

，

代入得。

讨论：

上述结论仅对时成立。

若，则因，

对任意都有，因此向右发射的离子均能打到屏上，即恒有。