Question

【题目】【选修4﹣1几何证明选讲】
如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAE=DCAF，B、E、F、C四点共圆．

（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；
（2）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，∴∠DCB=∠A，

∵BCAE=DCAF，∴ ．

∴△CDB∽△AEF，∴∠CBD=∠AFE．

∵B、E、F、C四点共圆，∴∠CFE=∠DBC，∴∠CFE=∠AFE=90°．

∴∠CBA=90°，∴CA是△ABC外接圆的直径

（2）解：连接CE，∵∠CBE=90°，

∴过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，得CE=DC，

又BC2=DBBA=2DB2，

∴CA2=4DB2+BC2=6DB2．

而DC2=DBDA=3DB2，

故过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC面积的外接圆的面积比值= =

【解析】（1）已知CD为△ABC外接圆的切线，利用弦切角定理可得∠DCB=∠A，及BCAE=DCAF，可知△CDB∽△AEF，于是∠CBD=∠AFE．
利用B、E、F、C四点共圆，可得∠CFE=∠DBC，进而得到∠CFE=∠AFE=90°即可证明CA是△ABC外接圆的直径；（2）要求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．只需求出其外接圆的直径的平方之比即可．由过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，及DB=BE，可得CE=DC，利用切割线定理可得DC2=DBDA，CA2=CB2+BA2 ， 都用DB表示即可．