Question

【题目】太空火箭（包括燃料）的初始质量为，从静止起飞，向后喷出的气体相对火箭的速度u为常量。任意时刻火箭速度（相对地球）为v时火箭的静止质量。忽略引力的影响，试求比值与速度v之间的关系。

Answer 1

【答案】，

【解析】

本题以地球为参考系，取火箭喷气的元过程，得到火箭静质量的变化与速度变化的关系式，然后运用微元法求得与速度v之间的关系。

设某时刻火箭对地速度为，质量，静质量，在的瞬时喷出气体质量为，静质量相应记作，火箭速度增加，由动量守恒关系得

。 ①

式中气体对地速度由速度变换法则确定。整理①式并忽略高阶无穷小量后得

。 ②

而喷出的气体质量，为

。 ③

③式中因子

。

则。

将其代入②式有

。 ④

④式等号两边消去因子，并舍去高阶无穷小量，整理可得

，

即。

将此式等价变形为

。

现令，，

则有。

当时，，，

故有，。

。

注意到初时，则有

，。

同理可得，

。

由所设得。

于是，本题所求的物理规律为

，。