Question

【题目】三根长度均为，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架ABC．C点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图甲所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动．

Answer 1

【答案】松鼠在导轨AB上的运动是以AB的中点O为平衡位置，振幅不大于，周期为2．64s的简谐振动。

【解析】

先以刚性框架为研究对象。当框架处于静止状态时，作用于框架的各个力对转轴C的力矩之和在任何时刻都应等于零，设在某一时刻，松鼠离杆AB的中点O的距离为x，如图乙所示，松鼠在竖直方向对导轨的作用力等乙于松鼠受到的重力mg，m为松鼠的质量。此重力对转轴C的力矩的大小为mgx，方向沿顺时针方向。为使框架平衡，松鼠必须另对杆AB施一水平方向的力F，且F对转轴C的力矩应与竖直方向的重力产生的力矩大小相等，方向相反．即当表示松鼠位置的坐标x为正时，F沿x的正方向，当x为负时，F沿x的负方向，如图乙所示，并满足平衡条件

，式中l为杆的长度．

所以下，即松鼠在水平方向上作用于杆AB的力要因松鼠所在的位置不同而进行调整，以保证得到满足．

再以松鼠为研究对象．松鼠在运动过程中，沿竖直方向受到的合力为零，在水平方向受到杆AB的作用力为，根据牛顿第三定律，此力即F的反作用力，即

可见，松鼠在水平方向受到的作用力作用下的运动应是以O点为平衡位置的简谐振动，其振动的周期为

，式中，

代入数据得．

当松鼠运动到杆AB的两端时，它应反向运动，按简谐振动规律，速度必须为零，所以松鼠做简谐振动的振幅应小于或等于．（振幅等于与把松鼠视作质点相对应）

由以上论证可知：松鼠在导轨AB上的运动是以AB的中点O为平衡位置，振幅不大于，周期为2．64s的简谐振动。