Question

【题目】综合题：（1）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；（2）设f（x）=x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a+1|）
（1）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；
（2）设f（x）=x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a+1|）

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意，对x分3种情况讨论：

①当x＜0时，原不等式可化为﹣2x+1＜﹣x+1，解得x＞0，又x＜0，则x不存在，

此时，不等式的解集为．

②当0≤x＜ 时，原不等式可化为﹣2x+1＜x+1，解得x＞0，又0≤x＜ ，

此时其解集为{x|0＜x＜ }．

③当x≥ 时，原不等式化为2x﹣1＜x+1，解得 ≤x＜2，

又由x≥ ，此时其解集为{x| ≤x＜2}，

综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．

（2）证明：∵f（x）=x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，

故|f（x）﹣f（a）|=|x2﹣x﹣a2+a|=|x﹣a||x+a﹣1|＜|x+a﹣1|=|x﹣a+2a﹣1|≤|x﹣a|+|2a﹣1|＜1+|2a|+1=2（|a|+1）．

∴|f（x）﹣f（a）|＜2（|a|+1）．

【解析】（1）使用零点分类讨论，去掉绝对值符号，解不等式，得出满足条件的x的取值范围;（2）由题意写出,采取适当放缩可得出结论.