Question

【题目】质量为、半径为的匀质球位于倾角为的斜面底端.开始时球的中心速度为零，球相对过中心且与斜面平行的水平轴以角速度旋转，如图甲所示，已知球与斜面间的摩擦因数，球在摩擦力作用下会沿斜面向上运动，试求球能上升的最大高度.

Answer 1

【答案】

【解析】

分两阶段讨论小球沿斜面的爬高.

第一阶段，从开始到小球在斜面上刚达到纯滚动状态.

此阶段斜面摩擦力斜向上，是动摩擦力，如图乙所示.参照图示参量，可列方程：

，，

，，

，，.

解得

，

，

，.

刚达到纯滚动时，有.

该时刻与球心速度分别为

，

.

此阶段小球沿斜面爬升路程为

.

第二阶段，从刚进入纯滚动状态到小球中心沿斜面向上速度降为零.这一过程中，斜面对小球若无摩擦力，或有向下的静摩擦力或滑动摩擦力，都会减小，或不变，或增大，球与斜面接触点相对斜面便会向下滑动，又应受向上滑动摩擦力，有矛盾，不可取；这一过程中，斜面若对小球仍有向上滑动摩擦力，则如第一阶段，继续增大，继续减小，小球与斜面接触点向上滑动，应受向下的滑动摩擦力，仍有矛盾，也不可取.

综上所述，此过程中斜面对小球必定有向上的静摩擦力，此力一方面使继续减小，同时与重力分力联合使也减小，两者配合，保证小球与斜面接触点速度为零.可见，第二阶段实为小球纯滚动减速阶段，直到、均降到零为止.

方向如图丙所示，可列方程组：

，

，

，，

解得

.

同时可解得

.

即小于滑动摩擦力，可见，这一过程的摩擦力确实为静摩擦力.小球球心速度降为零前，又沿斜面爬升路程为

.

最后，可得小球爬升的高度为

.

本题是质心运动定理与转动定律应用相结合的典型试题.

在这类模型中，对象的受力不再是共点力，一方面质心的运动遵循牛顿运动定律；另一方面其转动满足转动定律.分析物体的受力，依据上述两个基本规律列方程是解答此类试题的基本程序.

此外，在这类试题所涉及的过程中，往往会设置一些与转动速度和平动速度相关的临界问题，平动加速度和角加速度关联的问题，很多时候，这类问题中的关联是我们解答的瓶颈，大家应小心应对.