Question

【题目】[选修4-5：不等式选讲]
已知函数f（x）=|x﹣ |+|x+ |，M为不等式f（x）＜2的解集．
（1）求M；
（2）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当x＜- 时，不等式f（x）＜2可化为： ﹣x﹣x﹣ ＜2，

解得：x＞﹣1，

∴﹣1＜x＜- ，

当- ≤x≤ 时，不等式f（x）＜2可化为： ﹣x+x+ =1＜2，

此时不等式恒成立，

∴- ≤x≤ ，

当x＞ 时，不等式f（x）＜2可化为：﹣ +x+x+ ＜2，

解得：x＜1，

∴ ＜x＜1，

综上可得：M=（﹣1，1）

（2）

当a，b∈M时，

（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，

即a2b2+1＞a2+b2，

即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，

即（ab+1）2＞（a+b）2，

即|a+b|＜|1+ab|．

【解析】（1）分当x＜- 时，当- ≤x≤ 时，当x＞ 时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；（2）当a，b∈M时，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2 ， 配方后，可证得结论．；本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度中档．
【考点精析】关于本题考查的绝对值不等式的解法，需要了解含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能得出正确答案．