Question

【题目】一个左右完全对称的熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半径分别为，且长轴的长度为，蛋圆的一端刚好可以在不光滑的水平面上稳定地平衡。证明蛋尖的一端可以在一个半球形的碗内稳定地直立，并求碗的半径.

Answer 1

【答案】

【解析】

本题是受重力作用并在其他物体支持下的物体平衡，因此，可假想物体偏离平衡位置一个小角度后。由重心升降法确定平衡种类。

将蛋尖、蛋圆的曲率重心分别记为，由对称性，鸡蛋的重心必在的连线上。设重心离蛋圆底端距离为，如图甲所示，现使蛋圆绕曲率重心偏过一微小角度，则中心位置的变化为

.

因为很小，所以，.

这样有.

由题意有，则，

即共点.

如图乙所示（为清晰，图已夸大），再把半球形碗的球心记为，使蛋尖绕其曲率重心转过一微小角度，蛋与碗的接触点为，设与竖直线夹角为.

这时重心与蛋尖底的距离为，由数学知识易知，三点共线，（但连线不一定竖直），且有.

这时重心位置的变化可表示为

.

仍用上面所述近似法则，并代入关系使，化简得

.

又因为，则.

将代入，得.