Question

【题目】已知函数f（x）=|2x﹣1|，x∈R．
（1）解不等式f（x）≥2﹣|x+1|；
（2）若对于x，y∈R，有 ， ，求证：f（x）＜1．

Answer 1

【答案】
（1）解：不等式化为|x+1|+|2x﹣1|≥2，

①当 时，不等式为3x≥2，解得 ，故 ；

②当 时，不等式为2﹣x≥2，解得x≤0，故﹣1≤x≤0；

③当x＜﹣1时，不等式为﹣3x≥2，解得 ，故x＜﹣1，

综上，原不等式的解集为 ；

（2）解：证明：f（x）=|2x﹣1|=|2（x﹣y﹣1）+（2y+1|≤2|x﹣y﹣1|+|2y+1|≤2× + = ＜1．
【解析】（1）通过讨论x的范围，解不等式，取并集即可；（2）根据绝对值的性质证明即可．
【考点精析】利用绝对值不等式的解法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．