Question

【题目】如图所示，一个半径为、质量为的不动地球，在地球表面上方，高为处静止释放一个小物体（），此物体自由下落，当达到地球表面时，正好落入过地球中心的光滑细隧道中，物体从隧道的另一出口出来，继续向前运动到达最高点，然后返回，以后就按这样的方式来回运动，求物体运动的周期.

Answer 1

【答案】

【解析】

本系统具有对称性，易判定其运动关于点对称，且只需讨论物体在、两段的运动即可.

先确定物体在段的运动时间.

物体由沿直线下落，这实际上是退化了的椭圆的一部分，我们可作一个近似于直线的椭圆，如图乙所示，物体与球心的连线在这段时间内扫过的面积如图中的阴影部分，物体从椭圆的顶端下落的时间可用开普勒第二定律求得，即

，

其中应用开普勒第三定律求解，得

，

所以，，

所以，.

再确定物体在段的运动时间.

由图可写出物体在隧道中的动力学方程：

.

显然，这是角频率为的谐振动.为了求，应先确定谐振动的振幅，设物体进入轨道时的初速度为，则

.

物体从到的过程中，由机械能守恒可得

.

联立上述各式可得

，

所以，.

所以由参考圆（图）可得，物体从球面到球心所需时间为

，

其中，

所以，.

最后得小物体运动的周期为

.

阅读完本题，如果将本题拆解成若干小题，你能将本题拆解成多少道独立的小题呢？

至少，小物体从下落至可作为一道小题吧？小物体在隧道内的动力学问题可作为一道小题吧？小物体在隧道内的非完整的谐振动是一道小题吧？这些小题没有一道是轻松简单的，而将它们串接起来，让你在有限的时间内作出正确的解答，肯定不是一件轻松的事儿.

什么是综合题？综合题不能简单地说是难题，因为有些综合题可能称不上是难题，但综合题一定包含了多个过程，或涉及多个对象，或涉及众多的知识点，或必须用到多个物理规律，或需要复杂的数学运算，或需要用多个物理思想方法……而处理综合题最普遍的方法便是将其拆解为多个我们平时所熟悉的小题，能否拆解，一定程度上也决定了我们能否作出正确的解答，同时也展示了我们能力的高低.