Question

【题目】已知函数f（x）=|2x﹣1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜|x﹣1|的解集；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f（x﹣1）的最小值为a，且m+n=a（m＞0，n＞0），求 + 的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜|x﹣1|，即|2x﹣1|＜|x﹣1|，平方化简可得x（3x﹣2）＜0，

求得0＜x＜ ，故不等式的解集为{x|0＜x＜ }．

（Ⅱ）函数g（x）=f（x）+f（x﹣1）=|2x﹣1|+|2（x﹣1）﹣1|=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣（2x﹣3）|=2，

当且仅当 ≤x≤ 时，取等号，故g（x）的最小值为a=2，

∴m+n=2≥2 （m＞0，n＞0），∴mn≤1， ≥1，当且仅当m=n=1时，等号成立．

∴ + =m+ +n+ =2+（ + ）=2+（ + ）=5+ + ≥5+2 ，

当且仅当 = 时，等号成立，故求 + 的最小值为5+2 ．

【解析】（1）将不等式两边平方，解出不等式即可，（2）由绝对值不等式,可得到a=2，再根据均值不等式可求得最小值.