Question

【题目】碰撞后动能之和等于碰撞前动能之和的碰撞，称为弹性碰撞。

（1）质量分别为，的两个小球以同方向的速度，发生弹性碰撞，已知，碰后速度分别记为，。假设碰撞是弹性碰撞，试列出方程求解得出，。

（2）光滑的水平桌面上平放着一个半径为R，内壁光滑的固定圆环，质量分别为m、2m、m的小球A、B、C在圆环内侧的位置和速度大小方向均在图甲中标出。初始B小球静止，已知所有碰撞为弹性碰撞。试问：经过多长时间，A、B、C三个小球又第一次恢复到原来位置？

Answer 1

【答案】（1）， （2）

【解析】

（1）由动量守恒定律有

。

由碰撞前后动能之和保持不变有

。

联立解得，。

（2）建立以圆心为坐栝原点，AB方向为x轴正方向的平面直角坐标系，如图乙所示。小球A运动半周后与小球B发生碰撞。此过程经历时间为

。

设碰撞后小球A的速度为，小球B的速度为，规定逆时针方向为速度的正方向，由（1）问的结论可知

；。

之后，小球B与小球C以时间发生碰撞。由（1）问的结论可知碰撞后有

；。

由解得。

在时间内，小球B转过的角度。

小球B与小球C碰撞后，A、C两小球经时间发生碰撞。由于两小球质量相等，碰撞后交换速度，有

；。

由解得。

小球A转过的角度为。

系统与初始状态的相对位置为顺时针转过了。

所经历的时间为。

要回到初始位置，设需要上述n个周期，则

，

解得。

当时，n有最小值，且，故

。