Question

【题目】如果方程cos2x－sinx＋a＝0在(0，]上有解，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】(－1,1]．

【解析】

试题即求函数f(x)＝－cos2x＋sinx值域，先转化为关于sinx二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定值域，进而得到a的取值范围．

试题解析：解　方法一　设f(x)＝－cos2x＋sinx(x∈(0，])．

显然当且仅当a属于f(x)的值域时，a＝f(x)有解．

因为f(x)＝－(1－sin2x)＋sinx

＝(sinx＋)2－，

且由x∈(0，]知sinx∈(0,1]．

易求得f(x)的值域为(－1,1]．

故a的取值范围是(－1,1]．

方法二　令t＝sinx，由x∈(0，]，可得t∈(0,1]．

将方程变为t2＋t－1－a＝0.

依题意，该方程在(0,1]上有解．

设f(t)＝t2＋t－1－a.

其图象是开口向上的抛物线，对称轴t＝－，

如图所示．

因此f(t)＝0在(0,1]上有解等价于

即所以－1<a≤1.

故a的取值范围是(－1,1]．