Question

【题目】已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|，g（x）=a﹣|x﹣2|． （Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为 ，求a+b的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当x=2时，g（x）=a﹣|x﹣2|取最大值为a，

∵f（x）=|x+1|+|x﹣3|≥4，当且仅当﹣1≤x≤3，f（x）取最小值4，

∵关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，

∴a＞4，即实数a的取值范围是（4，+∞）．

（Ⅱ）当 时，f（x）=5，

则 ，解得 ，

∴当x＜2时， ，

令 ，得 ∈（﹣1，3），

∴ ，则a+b=6．

【解析】（Ⅰ）求出g（x）=a﹣|x﹣2|取最大值为a，f（x）的最小值4，利用关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为 ，代入相应函数，求出a，b，即可求a+b的值．
【考点精析】关于本题考查的绝对值不等式的解法，需要了解含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能得出正确答案．