Question

【题目】一宇宙人在太空（万有引力可以忽略）玩垒球，辽阔的太空球场半侧存在均匀电场E，另半侧存在均匀磁场B，电场与磁场的分界面为平面，电场方向与界面垂直，磁场方向垂直纸面指向里。宇宙人位于电场一侧距界面为h的P点，O点是P点至界面垂线的垂足，D点位于纸面上O点的右侧，OD与磁场B的方向垂直，，如图所示。垒球的质量为m，且带有电量。

(1)宇宙人是否可能自P点以某个适当的投掷角（与界面所成的夹角）及适当的初速度投出垒球，使它经过D点，然后历经磁场一次自行回至P点？试讨论实现这一游戏，d必须满足的条件并求出相应、。

(2)若宇宙人从P点以初速度平行于界面投出垒球，要使垒球击中界面上的某一D点，初速度的指向和大小应如何？

Answer 1

【答案】（1） ，；， （2）见解析

【解析】

(1)（ⅰ）如图1所示，以O为原点，作一直角坐标系，使x轴与直线OD重合，y轴与直线OP重合。根据题中所给条件，若宇宙人在面内将垒球投向y轴的右侧，使垒球保持在平面内运动，则在电场区，垒球做斜抛（或平抛）运动，当垒球到达分界面上的D点时，其速度与x轴夹角为。进入磁场区后，垒球沿半径为R的圆弧运动，到达界面的另一点，又从进入电场区做斜上抛运动。只要位于x轴上O点的左侧，且，垒球就能自斜抛恰好回到P点。

由于， ①

因而。

设a为垒球在电场区垂直“下落”的加速度，得

， ②

所以

， ③

式中“+”与“－”分别对应于在P点做斜上抛与斜下抛的情况。

设垒球从P点到D点所经历的时间为，则

， ④

而， ⑤

将②⑤式代入④式，得，

解得

。 ⑥

因③式和⑥式是实数，故必须满足条件：

。

①若，

则由③式和⑥式可得，，

即，。

②若，

则有

，

。

式中根式前面取“+”号对应于从P点做斜向上抛的运动，取“－”对应于从P点做斜向下抛的运动（如图1所示）。

③当时，无论怎样选取和，投出的垒球都无法按题中要求回至P点。

（ⅱ）在与D并不关于O点对称的情况下，垒球亦有可能回到抛出点，此时，垒球在电场区域内的运动构成一段完整的抛物线，如图2所示。

仍将分解为与，在磁场区域，由前面的解答易得。

在电场区域，有

，，。

由此易知。

先考虑如图2（a）所示的情形，此时垒球斜向上抛，此情形下，垒球从P点运动到D点，所用时间为，

解得，

，

。

再考虑如图2（b）所示的情形，此时垒球斜向下抛，同理可得

，

。

(2)平行于界面的初速度必须指向正x轴方向才有可能击中D点。击中D点方式有如下三种：

①从P点平抛出后经过电场区域，直接到达D点。若所经历时间为t，则由

，

消去t，得。

②从P点向右平抛“下落”，然后经磁场回转，又在电场区斜上抛，如此循环，历经磁场n次，最终在电场区经斜上抛到达D点，如图3（a）所示。

设自P点平抛的水平射程。垒球经磁场回转一次，在x轴方向倒退。其中

。

从出磁场区后经电场区的斜上抛运动，垒球在x轴方向前进。如此历经n次循环，最后从电场区到达D点，应有

，

解得。

若P点抛出的初速度为，则由

，

消去t，得，或。

③自P点向右平抛“下落”，再经磁场回转，然后在电场区斜上抛，如此循环，历经磁场n次，最终在磁场区回转到达D点，如图3（b）所示。

设自P点平抛的水平射程为，则应有

，

解得。

相应的初速度为，则有

，

或，

以上各式中n=1，2，3，…。